2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение28.02.2010, 19:17 
Geremy в сообщении #293366 писал(а):
Исследовать сходимость ряда:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{ln^{100}n} sin \frac{n\pi }{4}}{n}}$$

Выделил по признаку Абеля $a_{n}=\frac{sin \frac{n\pi}{4}}{n}$ и $b_{n}=ln^{100}n$ .

И совершенно напрасно. Если уж по Абелю, то совершенно очевидно, что выделять надо было $a_{n}=sin \frac{n\pi}{4}$ и $b_{n}=\dfrac{ln^{100}n}{n}$ . Монотонность последнего (начиная с некоторого номера) достаточно тривиальна.

(Впрочем, это не Абель, а Дирихле; я их вечно путаю.)

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение11.03.2010, 19:27 
Аватара пользователя
Извините за еще один глупый вопрос , но как можно исследовать на сходимость $a_n=sin \frac{n\pi}{4}$ ?

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение12.03.2010, 00:56 
Вам не нужна его сходимость, нужна ограниченность частных сумм. Покажите, что они ограничены числом $\dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}.$

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение12.03.2010, 14:39 
Аватара пользователя
Неравенство $1+\sqrt 2 < \frac{1}{\sin \frac{\pi}{8}}$ верное, но проще показывать, что частичные суммы ряда $\sum \sin \frac{\pi n}{4}$ ограничены первым числом.

 
 
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение21.03.2010, 04:31 
meduza в сообщении #220563 писал(а):
rar в сообщении #220557 писал(а):
Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно.

да
Нет. Разве "не знакочередующийся" это синоним знакопостоянного? Если верить [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Знакочередующийся_ряд]определению[/url], то это не так!

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение22.03.2010, 00:57 
Аватара пользователя
rar в сообщении #220555 писал(а):
А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?


Тут нужна для "закрепления определений":)
А в принципе - затем, что в абсолютно сходящемся ряде можно менять порядок суммирования и сумма ряда от этого не изменится

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 16:34 
Аватара пользователя
Исследовать на сходимость ряд :
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2n^{2}}}-\cos\frac{1}{n}}$$

Необходимый признак сходимости выполняется, т.е предел равен нулю.
Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти , то ли еще что-то. Подскажите пожалуйста .

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 18:50 
Аватара пользователя
Geremy в сообщении #305623 писал(а):
Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти


найти очень просто... посмотрите что происходит при о-о-о-чень больших $n$

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 18:51 
Вычтите по единичке из каждого слагаемого и перейдите в получившихся разностях к эквивалентным -- немедленно просветление наступит.

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение07.04.2010, 19:56 
Аватара пользователя
Вычел , но никаких просветлений не появилось

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение07.04.2010, 19:57 
Аватара пользователя
Перейдите к эквивалентным, кагбе намекает капитан Очевидность.

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 13:45 
Аватара пользователя
У меня только одно приходит - это формула тейлора

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 13:47 
Аватара пользователя
Ну.

 
 
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 18:59 
Geremy в сообщении #307982 писал(а):
У меня только одно приходит - это формула тейлора

"Эквивалентность" (в стандартном понимании) -- это просто первый член (ну или два члена, если нулевой не ноль) формулы Тейлора. Т.е. просто простейший её частный случай.

Ладно, если попытаться минимизировать пижонство. Рассмотрите два первых члена стандартной формулы Тейлора для экспоненты, принимая за бесконечно малую $\varepsilon=-{1\over n^2}$. И аналогично для косинуса, полагая для него $\varepsilon={1\over n}$ (только тут, конечно, под двумя первыми имеются в виду два первых ненулевых).

Ну и, конечно, для корректности рассуждений надо хоть как-то оформить остаточные члены тех формул. Результат придёт автоматически.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group