2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение28.02.2010, 19:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Geremy в сообщении #293366 писал(а):
Исследовать сходимость ряда:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{ln^{100}n} sin \frac{n\pi }{4}}{n}}$$

Выделил по признаку Абеля $a_{n}=\frac{sin \frac{n\pi}{4}}{n}$ и $b_{n}=ln^{100}n$ .

И совершенно напрасно. Если уж по Абелю, то совершенно очевидно, что выделять надо было $a_{n}=sin \frac{n\pi}{4}$ и $b_{n}=\dfrac{ln^{100}n}{n}$ . Монотонность последнего (начиная с некоторого номера) достаточно тривиальна.

(Впрочем, это не Абель, а Дирихле; я их вечно путаю.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение11.03.2010, 19:27 
Аватара пользователя


04/06/09
54
Извините за еще один глупый вопрос , но как можно исследовать на сходимость $a_n=sin \frac{n\pi}{4}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение12.03.2010, 00:56 


13/11/09
166
Вам не нужна его сходимость, нужна ограниченность частных сумм. Покажите, что они ограничены числом $\dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение12.03.2010, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Неравенство $1+\sqrt 2 < \frac{1}{\sin \frac{\pi}{8}}$ верное, но проще показывать, что частичные суммы ряда $\sum \sin \frac{\pi n}{4}$ ограничены первым числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить задачу (ряды)
Сообщение21.03.2010, 04:31 


16/03/10
212
meduza в сообщении #220563 писал(а):
rar в сообщении #220557 писал(а):
Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно.

да
Нет. Разве "не знакочередующийся" это синоним знакопостоянного? Если верить [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Знакочередующийся_ряд]определению[/url], то это не так!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение22.03.2010, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
rar в сообщении #220555 писал(а):
А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?


Тут нужна для "закрепления определений":)
А в принципе - затем, что в абсолютно сходящемся ряде можно менять порядок суммирования и сумма ряда от этого не изменится

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 16:34 
Аватара пользователя


04/06/09
54
Исследовать на сходимость ряд :
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2n^{2}}}-\cos\frac{1}{n}}$$

Необходимый признак сходимости выполняется, т.е предел равен нулю.
Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти , то ли еще что-то. Подскажите пожалуйста .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Geremy в сообщении #305623 писал(а):
Но вот с достаточным возникли проблемы : то ли эквивалентный ряд нужно найти


найти очень просто... посмотрите что происходит при о-о-о-чень больших $n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение02.04.2010, 18:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вычтите по единичке из каждого слагаемого и перейдите в получившихся разностях к эквивалентным -- немедленно просветление наступит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение07.04.2010, 19:56 
Аватара пользователя


04/06/09
54
Вычел , но никаких просветлений не появилось

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение07.04.2010, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Перейдите к эквивалентным, кагбе намекает капитан Очевидность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 13:45 
Аватара пользователя


04/06/09
54
У меня только одно приходит - это формула тейлора

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Ну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на сходимость рядов
Сообщение09.04.2010, 18:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Geremy в сообщении #307982 писал(а):
У меня только одно приходит - это формула тейлора

"Эквивалентность" (в стандартном понимании) -- это просто первый член (ну или два члена, если нулевой не ноль) формулы Тейлора. Т.е. просто простейший её частный случай.

Ладно, если попытаться минимизировать пижонство. Рассмотрите два первых члена стандартной формулы Тейлора для экспоненты, принимая за бесконечно малую $\varepsilon=-{1\over n^2}$. И аналогично для косинуса, полагая для него $\varepsilon={1\over n}$ (только тут, конечно, под двумя первыми имеются в виду два первых ненулевых).

Ну и, конечно, для корректности рассуждений надо хоть как-то оформить остаточные члены тех формул. Результат придёт автоматически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group