Прямая сумма топологических векторных пространств

[Padawan]

Дано конечное число топологических векторных пространств $(E_i,\tau_i)$, $i=1,\ldots, n$. Пусть $E=\bigoplus\limits_{i=1}^n E_i$ -- их алгебраическая прямая сумма, и пусть $(E,\tau)$ -- топологическое векторное пространство, причем топология $\tau$ на $E$ такова, что $\tau|_{E_i}=\tau_i$ -- индуцирует на каждом $E_i$ его "родную" топологию $\tau_i$.

Требуется доказать, что топология $\tau$, обладающая этим свойством, существует и единственна.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #306047 писал(а):

Дано конечное число топологических векторных пространств $(E_i,\tau_i)$, $i=1,\ldots, n$. Пусть $E=\bigoplus\limits_{i=1}^n E_i$ -- их алгебраическая прямая сумма, и пусть $(E,\tau)$ -- топологическое векторное пространство, причем топология $\tau$ на $E$ такова, что $\tau|_{E_i}=\tau_i$ -- индуцирует на каждом $E_i$ его "родную" топологию $\tau_i$.

Требуется доказать, что топология $\tau$, обладающая этим свойством, существует и единственна.

Возьмем в $E$ слабейшую топологию в которой все проекторы $\pi_i:E\to E_i$ непрервывны. Эта топология удовлетворяет требованию. Вроде бы очевидно, что только она и удовлетворяет.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #306068 писал(а):

Возьмем в $E$ слабейшую топологию в которой все проекторы $\pi_i:E\to E_i$ непрервывны. Эта топология удовлетворяет требованию. Вроде бы очевидно, что только она и удовлетворяет.

Т.е. топологию произведения?
А если пространств бесконечно, то такая топология уже будет не единственная. Где тут конечность играет?

Вопрос у меня возник в связи с тем, что в прямой сумме нормированных пространств норма определяется как $\|x+y\|=\|x\|_1+\|y\|_2$, либо как $\|x+y\|=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_2^2}$. Это приводит к эквивалентным нормам. Подумал про обобщение.

[id]

А как определяется прямая сумма бесконечного числа в.п.?
Вспоминается именно как то самое, где у каждого вектора лишь конечное число ненулевых координат.

В Н. Бурбаки "Топологические векторные пространства" стр. 34-35 есть про это некоторые соображения.

[Padawan]

id
Возьмем бесконечномерное линейное пространство $E$, в нем базис Гамеля $(e_i)$. Тогда $E$ является прямой суммой одномерных подпространств $E_i$, порожденных векторами $e_i$. В $E$ можно ввести много разных топологий $\tau$, и все они будут обладать тем свойством, что $\tau|_{E_i}=\tau_i=$ обычная топология прямой (если над $\mathbb{R}$) или плоскости (если над $\mathbb{C}$). Т.е. в данном случае единственности нет.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #306078 писал(а):

Где тут конечность играет?

в случае конечного числа прочтранчтв топология суммы совпадает с топологией произведения.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #306109 писал(а):

Padawan в сообщении #306078 писал(а):

Где тут конечность играет?

в случае конечного числа прочтранчтв топология суммы совпадает с топологией произведения.

Это я понимаю. Вопрос про единственность остается. Объясните, пожалуйста, почему Вам она кажется очевидной?

-- Сб апр 03, 2010 20:06:55 --

Может единственности и нету.

Возьмем пространство $L^p$ при $0<p<1$. Оно обладает тем свойством, что не может быть разложено в топологическую прямую сумму $M\oplus_T N$, если $M$ - одномерное подпространства.

Возьмем одномерное подпространство $M$ и его алгебраическое дополнение $N$, так что $L^p=M\oplus_A N$ -- алгебраическая прямая сумма. Топологию на $M$ и $N$ индуцируем из $L^p$. Тогда исходная топология в $L^p$ удовлетворяет нужному свойству. Но этому свойству удовлетворяет и топология произведения $M\times N$ (она же прямой суммы), в которой $L^p$ уже будет топологической прямой суммой $M$ и $N$.

Несколько коряво объяснил. Это контрпример?

[terminator-II]

а может и неочевидно

[JMH]

Для линейных векторных пространств произведение подпространств изоморфно прямой сумме, можно посмотреть, например, в Ж. Дьедонне "Линейная алгебра и элементарная геометрия", 3.1.8. А для общего случая, что-то не припоминаю такой теоремы...