Вновь о выражении 0^0

[Yarkin]

arseniiv в сообщении #275935 писал(а):

антиномией

Ну, конечно.

[FireAnt]

Мне кажется ответ на вопрос темы зависит от того что мы понимаем под нулём.

Если понимать число ноль как предел, то тогда действительно 0/0 = 1
Всмысле например 0.01 / 0.01 = 1 ну и т.д. нули прибавляем.
Вообще: lim (1/n) / (1/n) = 1 , при n cтрем. к бесконечности.

Но нужно понимать, что это не сам ноль, а только бесконечно малая величина всего-лишь стремящаяся к нулю, как бы никогда его не догоняя.

Если же понимать ноль не как предел, а как "ничто" (несуществование), то определять во сколько раз ничто больше чем ничто - бессмысленно т.к. ничто это вообще ничего, отстутствие, а не наличие.

Т.е. здесь уже вопрос не математический, а чисто философский. Если мы утверждаем существование "несуществования", значит несуществование существует. И тогда возникает "парадокс", т.к. "несуществование" не может существовать по определению!

[Yarkin]

FireAnt в сообщении #289729 писал(а):

Мне кажется ответ на вопрос темы зависит от того что мы понимаем под нулём.
Вообще: lim (1/n) / (1/n) = 1 , при n cтрем. к бесконечности.

Ноль - это привелегия современной математики. Раньше обходились без нуля. Правильнее было бы его, как и бесконечность считать символом. Тогда запрет деления на нуль можно было бы снять. Возведенный в ранг числа, он долженн обладать, как и все числа свойством числа. Если отношение бесконечно малых одинакового порядка равно $1$, то $0/0=1,$ а $0^2 /0 =0$, т. е. провести классификацию нулей.

[AD]

FireAnt в сообщении #289729 писал(а):

Мне кажется ответ на вопрос темы зависит от того что мы понимаем под нулём.

Мне известно только одно определение этого понятия.

FireAnt в сообщении #289729 писал(а):

Т.е. здесь уже вопрос не математический

Руками и ногами за.

FireAnt в сообщении #289729 писал(а):

Если мы утверждаем существование "несуществования", значит несуществование существует. И тогда возникает "парадокс", т.к. "несуществование" не может существовать по определению!

Почему же несуществование не существует? Существует. Вы тут что-то путаете. Розовых крокодилов не существует, но это и означает их несуществование (ни коим образом не тождественное им самим!) имеет место.

-- Чт апр 01, 2010 19:04:16 --

Ах, да, вот еще.

FireAnt в сообщении #289729 писал(а):

lim (1/n) / (1/n) = 1 , при n cтрем. к бесконечности.

Категорически прошу набирать формулы в \color{red}\TeXе.
$1\equiv\frac{1/n}{1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\lim\limits_{n\to\infty}1=1$.

[age]

На мой взгляд, понятие "деление на ноль" очень хорошо иллюстрируется графиком функции $y=\dfrac1x$:

мёртвая ссылка удалена // 03.2013, AKM

на котором видно, что при приближении к нулю с отрицательной стороны график функции неограниченно "убегает" вниз в минус бесконечность. Куда? Неизвестно. Потом с ним что-то там происходит, но возвращается он уже - сверху! Из плюс бесконечности.

Т.е. вот эта топологическая трансформация минус бесконечности в плюс бесконечность, описываемая некоей гипер-функцией и есть "деление на ноль". Если натянуть плоскость $x0y$ на цилиндр или на шар бесконечной площади, но ограниченный собственной кривизной, то в некоей гипотетической точке - диаметрально противоположенной точке 0, минус и плюс бесконечности соединятся. И график функции станет "понятным", почему уходит в минус, но возвращается из плюса.

[arseniiv]

age, возьмите лучше функцию $y=1/x^2$

[ewert]

age в сообщении #305380 писал(а):

очень хорошо иллюстрируется графиком функции

Это -- неправильный график.

Как говаривал проф. Преображенский:

"-- Никогда, никогда не пользуйтесь перед обедом математическими пакетами!
-- Но если никаких других нет?...
-- Вот никакими и не пользуйтесь!"

[arseniiv]

Да, вы правы. Надо после обеда

[Mik Dmitro]

У меня есть свои мысли по дискутируемой теме.Предлагаю для обсуждения.
Запредельные числа
Почему запредельные числа? Какие мы знаем пределы - или $0$ или $\infty$,
а здесь унас будут числа больше $\infty$ и меньшие $0$ .Поэтому и запредельные.
Давно стоит проблема деления на ноль.Что бы ее решить предлагается внести дополнительные постулаты в теории чисел:

$$1-1=0;\eqno(1)$$

$$\infty=\frac{1}{0}\eqno(2)$$

Соответственно $a-a=a(1-1)=a\times0, ~~ \frac{a}{0}=a\times\frac{1}{0}=a\times\infty,$

$0-0=0\times(1-1)=0\times0=0^2,~~ 0+0=2\times0$

$\infty-\infty=\infty\times(1-1)=\infty\times0=1,~~\frac{\infty}{0}=\infty\times\frac{1}{0}=\infty^2$

$\infty^n-\infty^n=\infty^{n-1},~~\infty^n+\infty^n=2\infty^{n},$
Я беру только абсолютные значения.
Если в геометрии ,учитывая пятый постулат Эвклида, имеем эвклидовую и неэвклидовую геометрии, так и здесь- обычная арифметика где нельзя делить на 0 и новая где можно делить на 0 .
В связи с этим мы можем построить новую числовую ось, пролагорифмировав ее с основанием $\infty$ получим :

$...\infty^{-\infty^\infty}...\infty^{-\infty^2}~\infty^{-\infty}~...\infty^{-2}~\infty^{-1}~~1~~\infty~\infty^2~...\infty^\infty~\infty^{2\infty}~...\infty^{\infty^\infty}...$
или
$...0^{\infty^\infty}...0^{\infty^2}~0^{\infty}...0^2~~0~~1~~0^{-1}~0^{-2}...0^{-\infty}~0^{-\infty^{2\infty}}...0^{-\infty^{\infty}}...\eqno(3)$
Если снова пролагорифмировать с тем же основанием то мы полу чим тот же результат сколько не повторять этот процесс. А если принять $\infty^\infty$ за единицу, мы полу чим тот же результат только со здвигом в право.
Если в обычной математике мы имели дело с числами от $0$ до $\infty$ , тогда
здесь открываются такие величины, что уму не постижимо.

Так как $\infty^2$ , это не только следующая по масштабу величина, но это также и $\infty$ в квадрате. Поэтому алгебраические числа степени $n$ - это числа уровня $\infty^n$ по новой числовой оси, а трансцендентные числа - уровня $\infty^\infty$ .
Отсюда видно, что целые числа, дробные, алгебраические и трансцендентные числа, то есть действительные числа, не покрывают полностью всей числовой оси. Значит будут открыты еще какие то другие числа.
Выражение $F(x)=x^k+x^{k-1}+...+x^2+x+a$ показывает, что мы имеем дело с $k$ уровнями. Производная или интеграл, это понижение или повышение уровня.
Это также напоминает математический анализ с бесконечно малыми и безконечно большими величинами, только здесь мы имеем уже законченный процесс,т.е. вместо потенциальной бесконечности – актуальную.
Так ли уж новое то, что преюдлагается? При нахождении пределов свободно сокращают на $(x-1)$ или на $\cos(x)$ или $\sin(x)$ не смотря на то, что при определенных значениях аргумента они принимают значение $0$.То есть делить можно было на ноль и раньше, а не делили на ноль только потому, что не было точного определения ноля. Учитывая определение (1), мы можем спокойно делить на ноль. При нахождении пределов не надо хитрить, а спокойно делить на ноль или возводить в нулевую степень, например при нахождении числа
$e=\frac{\lim}{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n~=(1+\frac{1}{\infty})^\infty~=(1+0)^\infty~=1+\frac{\infty\times0}{1}+\frac{\infty(\infty-1)\times0^2}{2!}+\frac{\infty(\infty-1)(\infty-2)\times0^3}{}+...=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}+...$
Возьмем.

$\frac{\lim}{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=(1+x\frac{1}{\infty})^\infty=(1+x\times0)^\infty=1+\frac{\infty\times x\times0}{1}+\frac{\infty(\infty-1)\times x^2\times0^2}{2!}+\frac{\infty(\infty-1)(\infty-2)\times x^3 \times 0^3}{}+...=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$
Но это же
$e^x=[\frac{\lim}{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n]^x=(1+0)^{x\infty}=1+\frac{x\infty\times 0}{1}+\frac{x\infty(x\infty-1)\times 0^2}{2!}+\frac{x\infty(x\infty-1)(x\infty-2)\times 0^3}{}+...=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$
А это значит, что
$\frac{\lim}{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{xn}=\frac{\lim}{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
или $(1+0)^{x\infty}=(1+x\times x \times 0)^\infty$ .Интересный результат не правда ли?
Совсем другой смысл получают комплексные числа вида:

$$z=a(\cos x\pm i \times \sin x)\eqno(4)$$

Если в числах вида:

$$z=a(\sin x\pm i \times \cos x)\eqno(5)$$

подразумевается другое измерение, тогда в числах (4) будет выход за пределы своего уровня.
А какие поля в физике можно строить, комбинируя числа (4) и (5).
А в теории множеств, сколько не решаемых пока вопросов можно решить.

[shwedka]

Цитата:

Давно стоит проблема деления на ноль.

такая проблема давным давно уже не стоит.