Равномощность отрезков

[AD]

(тоже оффтоп)

Marina в сообщении #304549 писал(а):

Это проходят в ЗФТШ при МФТИ.

Хе-хе, знакомо. Я в этом месте в своё время придумал какое-то извращение, не помню уже, и потом очень обрадовался, когда в ответах прислали именно это доказательство, которое тут Вам объясняют - оно действительно очень простое, но додуматься до него не просто

[Marina]

ИСН

Цитата:

А куда переходит, скажем, точка 0.54?

В такую же точку полуинтерала?

[Maslov]

Ура!

А в какие точки отрезка переходят следующие точки полуинтервала:
1. $\frac 1 {100}$
2. $\frac {99} {100}$
3. $0$
4. $\dfrac 1 {\pi}$

[Marina]

$\frac{99}{100}\leftrightarrow \frac{100}{101}$, а другие в такие же точки полуинтервла?

[Maslov]

Marina,
прочитайте внимательно вопрос.
Биекция -- это взаимно однозначное отображение, вот я и спрашиваю, какие точки отрезка соответствуют указанным точки полуинтервала.
И в данном случае лучше пользоваться одинарной стрелочкой ($\to$).

[Marina]

$\frac{1}{100}, 0,\frac{1}{\pi}$, а $\frac{99}{100}\to\frac{100}{102}$

[Maslov]

А Вы можете записать правила для построенной Вами биекции $[0, 1] \leftrightarrow [0, 1)$ словами (аналогично тому, как это я записывал):
1. Прямое отображение ($[0, 1] \rightarrow [0, 1)$): ...
2. Обратное отображение ($[0, 1) \leftrightarrow [0, 1]$: ...
?

[Marina]

1. Прямое отображение$[0;1]\to[0;1)$: каждая точка вида$\frac{n}{n+1}$, где $(n\in \mathbb N)$ переходит в точку$\frac{n+1}{n+2}$ полуинтервала ; $0\to 0$;$1\to\frac{1}{2}$,все остальные точки "остаются на месте";

2. Обратное отображение$[0;1)\to[0;1]$: каждая точка вида$\frac{n+1}{n+2}$, где $(n\in\mathbb N)$ переходит в точку$\frac{n}{n+1}$ отрезка ; все остальные точки "остаются на месте";

[ИСН]

Почти хорошо, только... у Вас $\mathbb N$ с какого числа начинается?

[Marina]

Как и у всех $\mathbb N=1,2,3,...$.

[ИСН]

Houston, we have a problem.
На обратном отображении (как оно сейчас описано) никакая точка не переходит в единицу. А ведь какая-то должна.

[Marina]

Согласна с Вами. Может в строку обратное отображение добавить $\frac {1}{2}\to{1}$. Или в строке прямого отображения поменять $1\to\frac{1}{2}$ на$1\leftrightarrow\frac {1}{2} $?

[ИСН]

Ну, раз уж Maslov просил их привести отдельно, то остановитесь на первом варианте. Кажется, это всё.
Можете записать в красивом виде, типа

$$x\to\left\{ \begin{array}{ll} \text{что-то,} & \text{если x такой-то} \\ \text{что-то другое,} & \text{если x такой-то} \\ ... & ... \end{array}\right.$$

-- Ср, 2010-03-31, 12:09 --

А можете и не записывать. Кстати, скоро Вам придётся доказывать равномощность квадрата и отрезка, по сравнению с которой это всё семечки.

[Marina]

ИСН
СПАСИБО Вам большое за подробное и понятное объяснение. За то, что отнимаю у Вас время отвечать на вопросы, которые Вам кажутся очень простыми, а меня поставили "в тупик".

(Оффтоп)

В школьной программе этой темы вообще нет.

Я Вас не поняла:

Цитата:

скоро Вам придётся доказывать равномощность квадрата и отрезка

. И как скоро?

[ИСН]

Пожалуйста. Рекомендую ещё поковыряться с биекциями (чисто для себя), например - отрезка в интервал.

(Оффтоп)

Я в курсе, что в школьной - нет. (9 класс я упомянул исключительно как спецификатор, извините, возраста, в каковом обычно всё это дело не проходят. Но Вам вроде удалось.)

Не знаю Вашей программы, но штука с квадратом - это по смыслу довольно близкая тема.