Вычислить тригонометрический пример:

[Mitrius_Math]

amonrah в сообщении #304422 писал(а):

Ребята, помогите разобратся, мистика что ли, нужно упростить,

$\frac{4*sin^{2}(75)-1}{4*sin^{2}(75)-1}$

Это же единица!!!

[amonrah]

извените ошибочка вышла, вот пример:

$\frac{4*sin^{2}(45+30)-1}{4*cos^{2}(45+30)-1}$

[gris]

А чего там такого? Можно и сразу подставить. Только квадрат суммы не равен сумме квадратов. А можно к двойному углу перейти, немножко упростится.

[maxmatem]

$\[\frac{{4{{\sin }^2}(75) - 1}} {{4{{\cos }^2}(75) - 1}} = \frac{{4{{\sin }^2}(45 + 30) - 1}} {{4{{\cos }^2}(45 + 30) - 1}} = \frac{{4{{\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} {4}} \right)}^2} - 1}} {{4{{\left( {\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} {4}} \right)}^2} - 1}} = .......\] $ ну а дальше сами

[ewert]

gris в сообщении #304438 писал(а):

А можно к двойному углу перейти,

Не можно, а нужно. То, что двойной угол гораздо проще исходного -- должно бросаться в глаза.

[amonrah]

gris в сообщении #304438 писал(а):

А чего там такого? Можно и сразу подставить. Только квадрат суммы не равен сумме квадратов. А можно к двойному углу перейти, немножко упростится.

Спасибо за совет, я ещё не совсем разобрался с двойными углами, можно сказать только только осваиваю, действительно, моя первая ошибка в том, что я посчитал
$sin^{2}(75) = sin^{2}(45)*cos^{2}(30)+sin^{2}(30)*cos^{2}(45)$

Хотя и догадывался, что это не верно, и пришёл к такому же решения как и maxmatem, только сделал глупую ошибку при вычислении.


Если Вас не затруднит не могли бы Вы показать переход к решению методом двойного угла?

[TOTAL]

amonrah в сообщении #304551 писал(а):

Если Вас не затруднит не могли бы Вы показать переход к решению методом двойного угла?

Выразите $\cos(2x)$ через $\sin(x)$ или $\cos(x)$

[gris]

А более точно это называется в учебнике формула понижения степени. Есть и на форуме в разделе Математические формулы.http://dxdy.ru/topic15422.html.
Хотя не в явном виде. Но можно пересчитать
$2\sin^2x=1-\cos 2x$
$2\cos^2x=1+\cos 2x$

[ewert]

Вотъ. Как я всегда всем стьюдентам рекомендую.
(собственно, они и без меня должны это знать -- по школьной программе -- но увы, рекомендовать приходится)

Всех формул не упомнишь, естественно. Поэтому должен быть некий якорь. Таковым может служить достаточно красивая и достаточно симметричная формула $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$. И вот она-то и должна от зубов отскакивать.

А вот теперь -- если мы знаем к тому же ещё и основное тригонометрическое тождество (а мы его знаем, конечно) -- то легко и на коленке выведем и связь между квадратами и косинусом удвоенного угла. Если вдруг нечаянно забыли (что естественно).

Достаточно лишь помнить, что косинус удвоенного угла как-то там связывается с теми квадратами. И тогда эта формула автоматически восстанавливается.

[amonrah]

большое спасибо, действительно, работать с такими якорями намного легче.

Но для успешной математической работы нужен ещё и неким дар зрения, различение, что есть что, а если с этим проблемы, то и формулы не помогут.

Вот например ещё один примерчик который нужно упростить


$sin(20)+2*sin(40)-sin(100)$

известно что он сводится к $sin(40)$

честно признаюсь, ну не вижу решения хоть тресни.

Что в этом примере такова, что должно сразу бросаться в глаза?

PS:
Единственное с чем этот пример у меня в голове ассоциируется, то это то, что он немного похож на квадратное уравнение.

$a^2+2*a*b+b^2$

[Maslov]

По-моему, то, что $100 = 60 + 40$, а $20 = 40 / 2$

[ИСН]

Один студент тоже вот так пренебрегал написанием градуса ($ ^\circ$). Как-то ночью на улице его поймали двое в чёрном, и лазером выжгли у него символ градуса в каждом глазу.

[Maslov]

(Оффтоп)

Пора открывать тему "Страшилки нашего городка"

[amonrah]

Maslov в сообщении #304925 писал(а):

По-моему, то, что $100 = 60 + 40$, а $20 = 40 / 2$

Ну дык это мне тоже в глаза бросилась пытался с этим работать:

и вот:

$sin(100°)= sin(60°+40°) = sin(60°)*cos(40°)+sin(40°)*cos(60°)$

Но и сдесь как то ступор, потому что дальше упростить не могу.

[gris]

А нельзя от $\sin 20^{\circ}$ отнять $\sin 100^{\circ}$?
В глаза бросится их полусумма, полуразность и косинус шестидесяти градусов.
Но ewert запретил помнить все формулы, кроме косинуса двойного угла

$ ^{\odot}60^{\odot}$