Ориентация гомеоморфизма

[Padawan]

Пусть $\varphi\colon \Omega\to D$ -- гомеоморфизм области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ на область $D\subset\mathbb{R}^n$. Можно ли определить такое понятие : $\varphi$ сохраняет ориентацию?

[terminator-II]

Думаю можно. Гомеоморфизм сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда его степень равна 1

[Профессор Снэйп]

Для $n=1$ точно можно

Для $n=2$, честно говоря, не знаю. Меня тут недавно убедили, что в $\mathbb{R}^2$ я ничерта не смыслю.

[Padawan]

terminator-II
А если так определить: гомеоморфизм сохраняет ориентацию, если его можно соединить гомотопией, состоящий из гомеоморфизмов, с тождественным отображением $\mathrm{id}\colon \Omega\to\mathbb{R}^n$.
Будет ли такое определение эквивалентно Вашему? Я просто не знаю, что такое степень отображения Слышал звон, да не знаю, где он.

[terminator-II]

Степень гладкого отображения определяется через знак якобиана. Степень тождественного отображения равна 1. У гомотопных отображений степень одинакова. Верно ли обратное для гомеоморфизмов не знаю. Про степень хорошо написано в Ниренберг Лекции по нелинейному функану.

[paha]

да, конечно можно

любое непрерывное отображение области в ${\mathbb R}^n$ в область ${\mathbb R}^m$ гомотопно гладкому (по сути это теорема принадлежит Вейерштрассу... смысл в том, что любое отображение можно приблизить гладким, а очень близкие отображения гомотопны)

а у гладкого отображения степень легко определяется (коллега терминатор об этом сказал) --- при $m=n$ это сумма знаков определителей в прообразе регулярной точки (в случае гладкого гомеоморфизма - просто знак определителя)

[terminator-II]

paha в сообщении #301142 писал(а):

любое непрерывное отображение области в ${\mathbb R}^n$ в область ${\mathbb R}^m$ гомотопно гладкому (по сути это теорема принадлежит Вейерштрассу... смысл в том, что любое отображение можно приблизить гладким, а очень близкие отображения гомотопны)

а это и есть соображения из которых вводится понятие степени для непрерывного отображения

[paha]

вот я впросак попал)))

Нас спросили про ориентацию, а мы про степень и гомотопию начали говорить)

степень любого отображения $X\to{\mathbb R}^n$ равна нулю - такое отображение гомотопно постоянному

Топикастер сам предложил правильное определение:

Padawan в сообщении #301026 писал(а):

гомеоморфизм сохраняет ориентацию, если его можно соединить гомотопией, состоящий из гомеоморфизмов, с тождественным отображением $\mathrm{id}\colon \Omega\to\mathbb{R}^n$

Такая гомотопия называется в узких кругах гомеотопией

иное дело что материя сложная... а вдруг найдется гомеоморфизм, который нельзя соединить гомеотопией ни с тождественным, ни с обращающим ориентацию: это ж надо доказать, что классов гомеотопности только два

[Padawan]

paha в сообщении #302930 писал(а):

это ж надо доказать, что классов гомеотопности только два

И что, в узких кругах это уже доказано?

[paha]

В силу того, что любая область в ${\mathbb R}^n$ является ориентируемым многообразием, достаточно показать, что имеется всего два гласса гомеотопых гомеоморфизмов ${\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^n$.

Читаем статью Homeotopy в wiki.

Из процитированной там теоремы Дена-Нильсена и того факта, что $\pi_1({\mathbb R}^n)$ тривиальна, следует, что класса таки только два.

[Padawan]

paha в сообщении #303485 писал(а):

Из процитированной там теоремы Дена-Нильсена и того факта, что $\pi_1({\mathbb R}^n)$ тривиальна, следует, что класса таки только два.

Там же сказано, что это теорема верна для замкнутых поверхностей, т.е . компактных двумерных многобразий без края.

Кстати, ведь $\mathrm {Out(1)}=1$? Или я чего-то не понимаю?

[paha]

да-да... меня глюкануло, был неправ... ничего не доказал

надо подумать)