объем к-мерного параллепипеда. Помогите доказать пожалуйста.

[Padawan]

Как это зависит?? Координаты векторов зависят от базиса, а скалярное произведение не зависит.
А Вы получается считаете, что фиксированы координаты и при изменении базиса изменяются вектора, а значит, и скалярное произведение?

[paha]

Формула для объема через определитель верна для k-мерных наборов в n-мерном пространстве. Вот как площадь параллелограмма, натянутого на пару векторов $v_1,v_2\subset {\mathbb R}^3$ считается:

$$ {\det G^v}={\det}\left(\begin{array}{cc}v_1\cdot v_1&v_1\cdot v_2\\ v_2\cdot v_1&v_2\cdot v_2 \end{array}\right)=v_1^2v_2^2-(v_1\cdot v_2)^2=(v_1\times v_2)^2 $$

Выпишем матрицу $A$ для указанной выше пары векторов в некотором базисе: если $v_i=v_{ij}e_j$, то

$$ A=\left(\begin{array}{ccc}v_{11}&v_{12}&v_{13}\\ v_{21}&v_{22}&v_{23} \end{array}\right) $$

Еще раз повторю для непонятливых: евклидова структура определяется длинами векторов и определяет как углы, так и объемы; ни от каких базисов евклидова структура не зависит. Эти самые "ортонормированные базисы" определяются по евклидовой структуре. Если вы измените единицу длины (масштаб) в $D$ раз, то k-мерные объемы изменятся в $D^k$ раз.

[ewert]

Padawan в сообщении #301937 писал(а):

Координаты векторов зависят от базиса, а скалярное произведение не зависит.

А я и сказал, что ессно. Но -- при ортогональных преобразованиях. А вовсе не при любых.

(Ибо по контексту под матрицей Грама подразумевались именно стандартные ск.пр.)

(Оффтоп)

Circiter,
я и впрямь где-то там зазивалси (не помню где), но где конкретно -- отыскивать лень. Уж извините.

[paha]

ewert в сообщении #301974 писал(а):

(Ибо по контексту под матрицей Грама подразумевались именно стандартные ск.пр.)

не бывает "стандартных скалярных произведений":)))

маленький ликбез:

Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство.
Евклидовой структурой на $V$ называется отображение

$$ |\,\cdot\,|:V\to{\mathbb R}, $$

удовлетворяющее условиям
a) $|av|=|a||v|$ для любого $a\in{\mathbb R}$ и
б) $|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)$

из этих условий следует, что соответствие $u,v\mapsto |u+v|^2-|u|^2-|v|^2$ билинейно

Теперь мы определяем скалярное произведение формулой

$$ u\cdot v=\frac{1}{2}\Bigl(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2 \Bigr), $$

и угол стандартным способом $\cos(u,v)=\frac{u\cdot v}{|u|\cdot |v|}$
Число $|v|$ называется длиной вектора $v\in V$

площади и объемы определяются для прямоугольных параллелепипедов как произведение длин соответствующих векторов-сторон и далее через равносоставленность

то, что $k$-мерный объем параллелепипеда, построенного на векторах $v_1,\ldots, v_k$ (в пространстве любого числа измерений) равен определителю матрицы $(v_i\cdot v_j)$ я показал выше

Изометрией двух пространств $V,U$ с евклидовой структурой (у каждого своя) называется такое отображение $f:V\to U$, которое сохраняет длины векторов
Легко доказать, что изометрия -- линейный изоморфизм




Вот, собственно, и вся евклидова геометрия... Разве мы произнесли слово "базис", или слово "координаты"?

[Marsel]

2) Матрица Грама набора $v_1,\ldots,v_{k-1},u_k$ является блочно-диагональной и ее определитель равен произведению определителя матрицы Грама набора $v_1,\ldots,v_{k-1}$ на $u_k\cdot u_k$ -- квадрат высоты

-- Ср мар 24, 2010 17:20:43 --
я немного не уловил мысли, почему матрица Грамма будет блочно-диагональной?

-- Чт мар 25, 2010 18:08:57 --

это получается следует из того, что вектор $u_k$ перпендикулярен всем остальным векторам?

[ewert]

paha в сих--ообщении #302010 писал(а):

я показал выше

Это что, здесь, что ли

paha в сообщении #301868 писал(а):

?...
Так и ничего Вы там и не доказали. И не могли доказать в принципе. Ибо так дёшево ничего, связанное с объёмом -- не доказывается. Ибо в принципе понятие объёма достаточно нетривиально. Нет, дело вовсе не в каких-то там лебеговостях, нет; это бантики. Дело в хужеем -- в инвариантностях относительно поворотов. Их можно или постулировать (но тогда надобно доказывать корректность определения) -- или доказывать, что, в общем, одна и та же морока. Причём неизбежная.

Есть стандартная формула: объём параллелепипеда равен определителю в ортонормированном базисе. Она доказывается пальчиками, пальчиками, и ни из чего иного не следует (во всяком случае легко).

Можно попытаться маленько сжульничать. Ну допустим, определить объём параллелепипеда как корень из определителя матрицы Грама. Вот ведь счастье-то какое, инвариантно выходит, да!?

Нет, увы, не да. Придётся ещё обосновывать, что при разбиении того параллелепипеда на более мелкие (но по другим направлениям) -- сумма тех объёмов к объёму исходного (приблизительно) и сведётся. Т.е. что это определение корректно.

Ну не бывает чудес в математике. Есть некий закон сохранения подлости. Если есть некоторое по существу нетривиальное утверждение -- то оно нетривиальным и останется, при всех переформулировках.

[paha]

Marsel в сообщении #302317 писал(а):

я немного не уловил мысли, почему матрица Грамма будет блочно-диагональной?

-- Чт мар 25, 2010 18:08:57 --

это получается следует из того, что вектор $u_k$ перпендикулярен всем остальным векторам?

именно поэтому

ewert в сообщении #302417 писал(а):

Можно попытаться маленько сжульничать. Ну допустим, определить объём параллелепипеда как корень из определителя матрицы Грама. Вот ведь счастье-то какое, инвариантно выходит, да!?

Нет, увы, не да. Придётся ещё обосновывать, что при разбиении того параллелепипеда на более мелкие (но по другим направлениям) -- сумма тех объёмов к объёму исходного (приблизительно) и сведётся. Т.е. что это определение корректно.

Скажите на милость, где я сжульничал или не пустословьте. "Обоснование" такое же как для формулы площади параллелограмма (это называется "принцип Кавальери" и доказывается безо всяких координат - Кавальери и координат-то, поди, не знал... когда он умер Декарту 6 лет было)

ewert в сообщении #302417 писал(а):

paha в сих--ообщении #302010 писал(а):
я показал выше

Это что, здесь, что ли
paha в сообщении #301868 писал(а):
?...
Так и ничего Вы там и не доказали. И не могли доказать в принципе. Ибо так дёшево ничего, связанное с объёмом -- не доказывается. Ибо в принципе понятие объёма достаточно нетривиально. Нет, дело вовсе не в каких-то там лебеговостях, нет; это бантики. Дело в хужеем -- в инвариантностях относительно поворотов. Их можно или постулировать (но тогда надобно доказывать корректность определения) -- или доказывать, что, в общем, одна и та же морока. Причём неизбежная.

Есть стандартная формула: объём параллелепипеда равен определителю в ортонормированном базисе. Она доказывается пальчиками, пальчиками, и ни из чего иного не следует (во всяком случае легко).

1) про определитель: матрица составленная из координат может не быть квадратной (см. выше)

2) не надо никаких пальчиков: скалярные произведения при движениях (изометриях) не меняются, поэтому и определитель из них составленный неизменен; метрические характеристики объектов не зависят от уравнений, которыми они задаются в выбранных базисах

3) вот еще пример:
правильно: "множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки и не содержащей ее прямой называется параболой, причем данная точка называется ее фокусом, а указанная прямая -- директрисой"
неправильно: "параболой называется кривая, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением $y^2=2px$, ее фокусом называется точка с координатами $(p/2;0)$, а директрисой -- прямая $x=-p/2$"
хоть эти определения и эквивалентны

[ewert]

paha в сообщении #302527 писал(а):

это называется "принцип Кавальери"

в нём не "параллелограммы". И уж точно не повороты.

paha в сообщении #302527 писал(а):

скалярные произведения при движениях (изометриях) не меняются, поэтому и определитель из них составленный неизменен; метрические характеристики объектов не зависят от уравнений, которыми они задаются в выбранных базисах

Объём -- не просто метрическая характеристика. Это -- сумма очень-очень и т.д.. Если постулировать инвариантность этой конструкции -- надо обосновывать непротиворечивость. Если не постулировать -- придётся доказывать. Так дёшево не отделаешься. Как бы ни казалось это очевидным.

[Padawan]

ewert
Разговор то был не о том как определить объем, а о том, что Вы утверждаете будто бы матица Грамма зависит от выбора базиса.

[ewert]

Padawan в сообщении #302560 писал(а):

Вы утверждаете будто бы матица Грамма зависит от выбора базиса.

Этого я никогда не утверждал, естественно. Аберрация у меня действительно была, но другая. Я держал в памяти утверждение типа "определитель матрицы Грама равен квадрату определителя". Меня сбила с толку исходная формулировка:

Marsel в сообщении #301782 писал(а):

определителю матрицы Грамма, построенного на этих векторах (в произвольном базисе).

Если не иметь в виду координатное представление, то последние слова явно бессмысленны. Вот я его и имел.

Не понравилось же мне утверждение о том, что там, якобы, что-то было доказано. На таком уровне я могу доказать и вообще в две строчки. Типа: пусть $A=QDU$ -- сингулярное разложение. Тогда параллелепипед $A$ -- это растянутый и повёрнутый единичный куб $U$. Тогда его объём -- это $\det D$ или, что то же, $\det A$. Всё.

Только это ещё не означает инвариантность объёмов вообще относительно поворотов.

Следовательно: в рассматриваемом вопросе лучше не заморачиваться разными умными рассуждениями, а просто принять равенство объёма определителю как факт.