я немного не уловил мысли, почему матрица Грамма будет блочно-диагональной?
-- Чт мар 25, 2010 18:08:57 --
это получается следует из того, что вектор
перпендикулярен всем остальным векторам?
именно поэтому
Можно попытаться маленько сжульничать. Ну допустим, определить объём параллелепипеда как корень из определителя матрицы Грама. Вот ведь счастье-то какое, инвариантно выходит, да!?
Нет, увы, не да. Придётся ещё обосновывать, что при разбиении того параллелепипеда на более мелкие (но по другим направлениям) -- сумма тех объёмов к объёму исходного (приблизительно) и сведётся. Т.е. что это определение корректно.
Скажите на милость,
где я сжульничал или не пустословьте. "Обоснование" такое же как для формулы площади параллелограмма (это называется "принцип Кавальери" и доказывается безо всяких координат - Кавальери и координат-то, поди, не знал... когда он умер Декарту 6 лет было)
paha в сих--ообщении #302010 писал(а):
я показал выше
Это что, здесь, что ли
paha в сообщении #301868 писал(а):
?...
Так и ничего Вы там и не доказали. И не могли доказать в принципе. Ибо так дёшево ничего, связанное с объёмом -- не доказывается. Ибо в принципе понятие объёма достаточно нетривиально. Нет, дело вовсе не в каких-то там лебеговостях, нет; это бантики. Дело в хужеем -- в инвариантностях относительно поворотов. Их можно или постулировать (но тогда надобно доказывать корректность определения) -- или доказывать, что, в общем, одна и та же морока. Причём неизбежная.
Есть стандартная формула: объём параллелепипеда равен определителю в ортонормированном базисе. Она доказывается пальчиками, пальчиками, и ни из чего иного не следует (во всяком случае легко).
1) про определитель: матрица составленная из координат может не быть квадратной (см. выше)
2) не надо никаких пальчиков: скалярные произведения при движениях (изометриях) не меняются, поэтому и определитель из них составленный неизменен; метрические характеристики объектов не зависят от уравнений, которыми они задаются в выбранных базисах
3) вот еще пример:
правильно: "множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки и не содержащей ее прямой называется параболой, причем данная точка называется ее фокусом, а указанная прямая -- директрисой"
неправильно: "параболой называется кривая, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением
, ее фокусом называется точка с координатами
, а директрисой -- прямая
"
хоть эти определения и эквивалентны