Диофантово уравнение с 4-мя переменными

[Yu_K]

Требуется получить решения уравнения в натуральных числах
$xyz=16n^2(x+y+z)$ при условии, что $x+y, y+z, z+x$ - четные.

Частное решение можно получить положив $x=p-k, y=p, z=p+k$, после подстановки и некоторых манипуляций получаем

$p=2(3a^2+b^2), k= 2(3a^2-b^2), n=ab$, где $a, b$ - параметры.

А каким образом можно получить другие решения?

[mihiv]

При n четном есть еще решение:$x=3n,y=z=12n$.

[Yu_K]

mihiv в сообщении #302197 писал(а):

При n четном есть еще решение:$x=3n,y=z=12n$.

Спасибо. И еще есть св-во решений - если $x,y,z,n$ решение, то - $xk,yk,zk,nk$ - тоже решение. Например $20,6,4,1$ и $20k,6k,4k,k$.

[Sandor]

Возможно общее решение и более общего уравнения:
$\[p{w^m}(x + y + z + \cdot \cdot \cdot ) - xyz \cdot \cdot \cdot = 0\]$ $\[w,x,y,z, \cdot \cdot \cdot - \]$ переменные, $\[p,m - \]$ натуральные числа.

Уравнение имеет бесконечное множество решений! Метод доступный с разрешения автора (на венгерском и русском языках). Его применение требует личной консультации. Адрес: e-mail: [e-mail]

Примеры решения уравнений:

1. $\[16{w^4}(x + y + z) - xyz = 0,w = 8,x = 4160,y = 267264,z = 16,\]$,
2. $\[16{w^5}(x + y + z) - xyz = 0,w = 5,x = 9937500,y = 7148,z = 7,\]$,
3. $\[5{w^3}(x + y + z) - xyz = 0,w = 6,x = 12,y = 396,z = 120,\]$,
4. $\[5{w^7}(x + y + z) - xyz = 0,w = 12,x = 2985984,y = 2986104,z = 120,\]$
5. $\[5{w^3}(x + y + z + q) - xyzq = 0,w = 6,x = 5,y = 351,z = 10,q = 24.\]$

[Yu_K]

Sandor спасибо.
А удается показать, что метод дает полный набор решений? Или только частные?

[Sandor]

Метод исходит из научной работы «Аналитический метод исследования разрешимости полиномиальных диофантовых уравнений и …». Это новая теория, требующая углубления. Ограничения накладывает неприводимость многочленов, переопределённый и неявный характер уравнений (это также требует объяснения). Рассматриваемое уравнение определённое и неявное в натуральной системе исчисления, но определённое и явное в рациональной системе, и как таковое, разрешимо по общему методу, при возможности получения любого решения из существующего, бесконечного набора решений. Даже при расхождении числа сомножителей и слагаемых, или степеней переменных. Прошу, информируйте также по указанному адресу поподробнее о себе и по теме. ([e-mail])

[Yu_K]

Sandor
Есть один тест для этого уравнения - по почте отправил вам, а то gmail - в спам запишет сообщение.

[Sandor]

Mатериал получил. Oтвет вечерoм.

[Sandor]

Здравствуйте Yu-K
Ввиду застоя в теме, предоставляю метод общего решения уравнения:
$\[p{w^m}(x + y + z) - xyz = 0\]$
Исходные данные:$\[{\text{x}}{\text{,y}}{\text{,z}}{\text{,w}} - \]$ - переменные,$\[{\text{p}}{\text{, m}} - \]$-натуральные числа.

Анализ уравнения (без разъяснения введенных понятий)

Уравнение – инмонолитное. Его простое разложение неявное, партикулярное. Общее исследование возможно в рациональной системе, ибо в ней уравнение определённое:$\[i = k = 3\]$. Приведением к переменному одночлену, имеем:
$\[{w^m} = \frac{{xyz}}{{p(x + y + z)}} = {V_1}{V_2}{V_3},\]$, где $\[{w^m} = {V_1}{V_2}{V_3},\]$ $\[({w^m} = V_1^mV_2^mV_3^m - \]$ даёт частные решения), где $\[({V_1},{V_2},{V_3}) = d = 1 - \]$ рациональные числа, $\[i - \] $число отличных действительных линейных сомножителей,$ \[k - \]$ число неизвестных, $\[p(x + y + z) - \]$ переменный делитель дроби.

Согласно основной теореме разложение натуральных чисел в натуральной системе однозначно до порядка сомножителей. В рациональной – бесконечно многозначно! Но это не исключает разрешимость в рациональной системе!
Допустим:

$$p = 16$$

.
Согласно основной теореме, факторизацией 16, с учётом возможных значений $\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$, получаем 45 вариантов решения (при

$$p \ne 16$$

другое число вариантов):

$$1.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 16{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$2.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 16{V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$3.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = (x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 16{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$5.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 16{V_2} \hfill \\ z = (x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$6.\left\{ \begin{gathered} x = 16{V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = (x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$7.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 8{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$8.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 8{V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$9.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = (x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 8{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$[math]$10.\left\{ \begin{gathered}
x = 8{V_1} \hfill \\
y = (x + y + z){V_2} \hfill \\
z = 2{V_3} \hfill \\
\end{gathered} \right.,$
$[/math]

$$11.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 8{V_2} \hfill \\ z = (x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$12.\left\{ \begin{gathered} x = 8{V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = (x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$13.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$14.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = (x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$15.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = (x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $

$$16.\left\{ \begin{gathered} x = 2(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 8{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$17.\left\{ \begin{gathered} x = 2(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 8{V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$18.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 2(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 8{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$19.\left\{ \begin{gathered} x = 8{V_1} \hfill \\ y = 2(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$20.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 8{V_2} \hfill \\ z = 2(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$21.\left\{ \begin{gathered} x = 8{V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 2(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$22.\left\{ \begin{gathered} x = 2(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$23.\left\{ \begin{gathered} x = 2(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$24.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 2(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$25.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = 2(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $
$$26.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = 2(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $

$$27.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 2(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$28.\left\{ \begin{gathered} x = 4(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$29.\left\{ \begin{gathered} x = 4(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$30.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 4(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 4{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$[math]$$31.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = 4(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$
$$$[/math]

$$32.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 4{V_2} \hfill \\ z = 4(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$33.\left\{ \begin{gathered} x = 4{V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 4(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $

$$34.\left\{ \begin{gathered} x = 4(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$35.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 4(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$36.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 4(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$37.\left\{ \begin{gathered} x = 8(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$38.\left\{ \begin{gathered} x = 8(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$39.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 8(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = 2{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$40.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = 8(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$41.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 2{V_2} \hfill \\ z = 8(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$42.\left\{ \begin{gathered} x = 2{V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 8(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$43.\left\{ \begin{gathered} x = 16(x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$44.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = 16(x + y + z){V_2} \hfill \\ z = {V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

$$45.\left\{ \begin{gathered} x = {V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 16(x + y + z){V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right..$$

.

Уравнение разрешимо при рациональных значениях $\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$, дающих натуральные значения дробной функции

$${w^m} = {f_2}(x,y,z) = xyz/p(x + y + z) = {V_1}{V_2}{V_3}$$

. Исходя из формул

$$x = k(x + y + z){V_1},y = k(x + y + z){V_2},$$

,

$$z = k(x + y + z){V_3}$$

, уравнение не имеет решений при натуральных значениях
$\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$ в одном варианте. Рассмотрим этот факт на основе 1. варианта:

$$x = (x + y + z){V_1},{V_1} = x/(x + y + z) < 1.$$

.
Решение уравнения на основе 1. варианта:

$$1.\left\{ \begin{gathered} x = (x + y + z){V_1} \hfill \\ y = {V_2} \hfill \\ z = 16{V_3} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

Из 1. варианта получаем формулы решения:
$$x = \frac{{{V_2}{w^m} + 16{V_3}{w^m}}} {{{V_2}{V_3} - {w^m}}},y = {V_2},z = 16{V_3},$ $, где

$${V_1} = \frac{{{w^m}}} {{{V_2}{V_3}}},{V_2}{V_3} > {w^m}.$$

.
Значения

$${V_3}$$

подбираем из условия целых значений

$$z$$

в интервале:

$${V_3} = k/16,$$

,

$$k = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot .$$

. Целые значения

$${V_2}$$

подбираем из условия целых значений

$$x$$

при

$${V_2}{V_3} > {w^m}$$

. А значения

$${V_1}$$

получаем из

$${w^m} = {V_1}{V_2}{V_3}.$$

. Допустим:

$${w^m} = {5^2} = 25,k = 3.$$

. Из неравенства имеем:

$${V_2} > {w^m}/{V_3} = 25 \cdot 16/3 = 133,3$$

. Допустим:

$${V_2} = 134.$$

.

Подставляя в разрешающие формулы, получаем:
$$x = \frac{{{V_2}{w^m} + 16{V_3}{w^m}}} {{{V_2}{V_3} - {w^m}}} = \frac{{134 \cdot {5^2} + 16 \cdot \frac{3} {{16}} \cdot {5^2}}} {{134 \cdot \frac{3} {{16}} - {5^2}}} = 27400,$ $,

$$y = {V_2} = 134,z = 16{V_3} = 16 \cdot \frac{3} {{16}} = 3,{V_1} = \frac{{{w^m}}} {{{V_2}{V_3}}} = \frac{{{5^2}}} {{134 \cdot \frac{3} {{16}}}} = \frac{{200}} {{201}}$$

.

Проверим решение:
$\[{w^m} = {5^2} = 25 = \frac{{xyz}} {{16(x + y + z)}} = \frac{{27400 \cdot 134 \cdot 3}} {{16(27400 + 134 + 3)}} = \] $$\[ = \frac{{11014800}} {{440592}} = 25 = {5^2} = {V_1}{V_2}{V_3} = \frac{{200}} {{201}} \cdot 134 \cdot \frac{3} {{16}} = \frac{{80400}} {{3216}} = 25 = {5^2}.\] $

На основе 1. варианта уравнение имеет бесконечное множество неоднородных решений. Однородные решения получаем из неоднородных решений умножением на постоянную величину. Решение по остальным вариантам аналогично.