Здравствуйте Yu-K
Ввиду застоя в теме, предоставляю метод общего решения уравнения:
![$\[p{w^m}(x + y + z) - xyz = 0\]$ $\[p{w^m}(x + y + z) - xyz = 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/8/dd8491595413de5e8e6724bbc060404082.png)
Исходные данные:
![$\[{\text{x}}{\text{,y}}{\text{,z}}{\text{,w}} - \]$ $\[{\text{x}}{\text{,y}}{\text{,z}}{\text{,w}} - \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1ed6068d847f8afb733a1127cd0691682.png)
- переменные,
![$\[{\text{p}}{\text{, m}} - \]$ $\[{\text{p}}{\text{, m}} - \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/b/17bfacb45bf2f726e03ce98fe9c4248682.png)
-натуральные числа.
Анализ уравнения (без разъяснения введенных понятий)
Уравнение – инмонолитное. Его простое разложение неявное, партикулярное. Общее исследование возможно в рациональной системе, ибо в ней уравнение определённое:
![$\[i = k = 3\]$ $\[i = k = 3\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/3/dd3c6bc52034a35be3968640691f817b82.png)
. Приведением к переменному одночлену, имеем:
![$\[{w^m} = \frac{{xyz}}{{p(x + y + z)}} = {V_1}{V_2}{V_3},\]$ $\[{w^m} = \frac{{xyz}}{{p(x + y + z)}} = {V_1}{V_2}{V_3},\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fef89a38ad7a5719c9b75b985a6ae4082.png)
, где
![$\[({w^m} = V_1^mV_2^mV_3^m - \]$ $\[({w^m} = V_1^mV_2^mV_3^m - \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/9/4b935e2e5d706d23139bfd07cafcec5982.png)
даёт частные решения), где
![$\[({V_1},{V_2},{V_3}) = d = 1 - \]$ $\[({V_1},{V_2},{V_3}) = d = 1 - \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/b/1ab92640749e900daeae39522e7f003d82.png)
рациональные числа,
![$\[i - \] $ $\[i - \] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/902ae796e9f3c7553ed107fe4b17ee6782.png)
число отличных действительных линейных сомножителей,
![$ \[k - \]$ $ \[k - \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/1/b718f4dcd47bec319f35b75b485aebe582.png)
число неизвестных,
![$\[p(x + y + z) - \]$ $\[p(x + y + z) - \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4b2058760d932e6986a525290262ca382.png)
переменный делитель дроби.
Согласно основной теореме разложение натуральных чисел в натуральной системе однозначно до порядка сомножителей. В рациональной – бесконечно многозначно! Но это не исключает разрешимость в рациональной системе!
Допустим:

.
Согласно основной теореме, факторизацией 16, с учётом возможных значений
![$\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$ $\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/9/1b9bd70e8b18eae3e87e037f928d63be82.png)
, получаем 45 вариантов решения (при

другое число вариантов):








![$[math]$ $[math]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/1/b510e5eab833652384846db0963b44cf82.png)
10.\left\{ \begin{gathered}
x = 8{V_1} \hfill \\
y = (x + y + z){V_2} \hfill \\
z = 2{V_3} \hfill \\
\end{gathered} \right.,$
$[/math]




















![$[math]$$31.\left\{ \begin{gathered}
x = 4{V_1} \hfill \\
y = 4(x + y + z){V_2} \hfill \\
z = {V_3} \hfill \\
\end{gathered} \right.,$$ $[math]$$31.\left\{ \begin{gathered}
x = 4{V_1} \hfill \\
y = 4(x + y + z){V_2} \hfill \\
z = {V_3} \hfill \\
\end{gathered} \right.,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/e/e8e52df0fea288cd1fd47fd32080e7ca82.png)

$[/math]














.
Уравнение разрешимо при рациональных значениях
![$\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$ $\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/9/1b9bd70e8b18eae3e87e037f928d63be82.png)
, дающих натуральные значения дробной функции

. Исходя из формул

,

, уравнение не имеет решений при натуральных значениях
![$\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$ $\[{V_1},{V_2},{V_3}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/9/1b9bd70e8b18eae3e87e037f928d63be82.png)
в одном варианте. Рассмотрим этот факт на основе 1. варианта:

.
Решение уравнения на основе 1. варианта:

Из 1. варианта получаем формулы решения:

, где

.
Значения

подбираем из условия целых значений

в интервале:

,

. Целые значения

подбираем из условия целых значений

при

. А значения

получаем из

. Допустим:

. Из неравенства имеем:

. Допустим:

.
Подставляя в разрешающие формулы, получаем:

,

.
Проверим решение:
![$\[{w^m} = {5^2} = 25 = \frac{{xyz}}
{{16(x + y + z)}} = \frac{{27400 \cdot 134 \cdot 3}}
{{16(27400 + 134 + 3)}} = \]
$ $\[{w^m} = {5^2} = 25 = \frac{{xyz}}
{{16(x + y + z)}} = \frac{{27400 \cdot 134 \cdot 3}}
{{16(27400 + 134 + 3)}} = \]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/6/8a6d9224cd790c452668f1e6d955544482.png)
![$\[ = \frac{{11014800}}
{{440592}} = 25 = {5^2} = {V_1}{V_2}{V_3} = \frac{{200}}
{{201}} \cdot 134 \cdot \frac{3}
{{16}} = \frac{{80400}}
{{3216}} = 25 = {5^2}.\]
$ $\[ = \frac{{11014800}}
{{440592}} = 25 = {5^2} = {V_1}{V_2}{V_3} = \frac{{200}}
{{201}} \cdot 134 \cdot \frac{3}
{{16}} = \frac{{80400}}
{{3216}} = 25 = {5^2}.\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/2/502724450257b0e5a5556ea77ffc567a82.png)
На основе 1. варианта уравнение имеет бесконечное множество неоднородных решений. Однородные решения получаем из неоднородных решений умножением на постоянную величину. Решение по остальным вариантам аналогично.