объем к-мерного параллепипеда. Помогите доказать пожалуйста.

[Marsel]

здравствуйте! Недавно прочитал, что квадрат объема к-мерного параллепипеда, построенного на векторах Х1...Хк равен определителю матрицы Грамма, построенного на этих векторах (в произвольном базисе). Решил доказать это:
если вектора линейно-зависимы, то всё очевидно: 0=0.
Затем стал рассматривать линейно-независимые вектора Х1....Хк, но почему-то не получается.....не знаю с чего начать.....если поможите, буду очень признателен!

[ewert]

Marsel в сообщении #301782 писал(а):

определителю матрицы Грамма, построенного на этих векторах (в произвольном базисе).

Ну всё ж не совсем произвольном, конечно, а произвольном ортонормированном.

Пусть $A=(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n)$ -- матрица, столбцами которой являются наборы координат тех самых векторов. Тогда матрица Грама -- это $G=A^T\cdot A$.

Дальше понятно?

[Marsel]

вот, я до этого тоже дошел. Но как теперь связать это с объемом?

[ewert]

Marsel в сообщении #301787 писал(а):

Но как теперь связать это с объемом?

А чему равен объём в терминах матрицы $A$ -- и каковы свойства определителя?...

[Marsel]

Согласно свойству определителя : определитель матрицы

$$ G. $$

равен квадрату определителя матрицы

$$ A. $$

. Но я не помню, чему будет равен объем матрицы в терминах матрицы А...

-- Ср мар 24, 2010 15:37:32 --

объем параллепипеда то есть...=(

[ewert]

тут уж просто невозможно ничего подсказать -- тут можно только ответить. Определителю $A$ он равен, определителю (плюс-минус, конечно). Это -- стандартная теорема, она должна от зубов отскакивать.

[Marsel]

а вы можите посоветовать какую-либо литературу на эту тему? чтобы получше разобраться в ней=)

[ewert]

Ефимов-Розендорн к примеру, "Линейная алгебра и многомерная геометрия". Или любой другой учебник такого типа.

Но это нелепо. Нелепо выхватывать один частный и притом принципиальный факт и искать в литературе указания только на него. Учиться -- так уж систематически.

[Marsel]

я только начинаю заниматься математикой, поэтому многого не знаю...буду учиться...спасибо большое!!!!

-- Ср мар 24, 2010 16:48:35 --

можно еще вопрос...а какую литературу можно почитать про $p$ адические числа? я не могу найти хорошу книгу по этой теме....хотелось бы почитать=) не подскажите?

-- Ср мар 24, 2010 16:55:39 --

я читал Коблица про $p$ адические числа, но там не так много про них говорилось...

-- Ср мар 24, 2010 16:58:16 --

я читал Коблица про $p$ адические числа, но там не так много про них говорилось...

[paha]

ewert в сообщении #301786 писал(а):

Marsel в сообщении #301782 писал(а):
определителю матрицы Грамма, построенного на этих векторах (в произвольном базисе).

Ну всё ж не совсем произвольном, конечно, а произвольном ортонормированном.

Матрица Грама набора векторов $v_1,\ldots,v_k$ не зависит ни от какого базиса, только от евклидовой структуры:

$$ G^v_{jk}=v_j\cdot v_k $$

Эту матрицу можно вычислить зная координаты векторов в некотором базисе и матрицу Грама этого базиса (ее еще называют метрическим тензором):
если $v_i=A_{ik}e_k$ и $G^e_{kl}=e_k\cdot e_l$, то

$$ G^v=AG^eA^T. $$

В случае ортонормарованного базиса $G^e$ -- единичная матрица и получается приведенная ранее формула.

Доказать формулу для объема $V(v_1,\ldots,v_k)=\sqrt{\det G^v}$ можно так:

0) База индукции $n=1$ очевидна
допустим мы доказала утверждение для всех $n<k$
1) если вектор $a_k$ является линейной комбинацией векторов $v_1,\ldots,v_{k-1}$, то $V(v_1,\ldots,v_k)=V(v_1,\ldots,v_k+a_k)$ (это принцип Кавальери... или выражение того факта, что k-объем параллелепипеда -- это произведение (k-1)-объема основания на высоту)
Ясно, что вектор $a_k$ можно выбрать так, чтобы $u_k=v_k+a_k$ был перпендикулярен всем векторам $v_1,\ldots,v_{k-1}$

2) Матрица Грама набора $v_1,\ldots,v_{k-1},u_k$ является блочно-диагональной и ее определитель равен произведению определителя матрицы Грама набора $v_1,\ldots,v_{k-1}$ на $u_k\cdot u_k$ -- квадрат высоты

-- Ср мар 24, 2010 17:20:43 --

ewert в сообщении #301831 писал(а):

Определителю $A$ он равен, определителю (плюс-минус, конечно)

Матрица эта может не быть квадратной

[Circiter]

2Marsel

Цитата:

Но я не помню, чему будет равен объем матрицы в терминах матрицы А...

Можно это так себе наглядно представить. Матрица задает некоторое линейное преобразование, а её определитель при этом суть масштабный коэффициент. То есть ваша матрица масштабирует кубик, натянутый на базис, а раз объем кубика единичен, то объем образа неизбежно будет равен определителю. Примерно так.

-- Ср мар 24, 2010 22:32:16 --

Ну а общий случай хорошо описан в предыдущем сообщении у paha, мне понравилось (особенно потому, что я не понял, как эта матрица может не быть квадратной).

[ewert]

Circiter в сообщении #301913 писал(а):

Матрица Грама набора векторов не зависит ни от какого базиса,

Ну прям-таки ни от какого. А вот тупо уменьшите-ка масштаб. Матрица Грама, естественно, уменьшится. А объём?...

[Circiter]

(Оффтоп)

2ewert

Цитата:

Circiter в сообщении #301913 писал(а):

Матрица Грама набора векторов не зависит ни от какого базиса,

Ну прям-таки ни от какого. А вот тупо уменьшите-ка масштаб. Матрица Грама, естественно, уменьшится. А объём?...

Вы не того процитировали. Я этого не говорил.

[Padawan]

ewert
А что, скалярное произведение векторов зависит от того, какой базис выбран в пространстве?

[ewert]

Padawan в сообщении #301927 писал(а):

А что, скалярное произведение векторов зависит от того, какой базис выбран в пространстве?

Ессно. Я даже и не понял вопроса.