Marsel в сообщении #301782 писал(а):
определителю матрицы Грамма, построенного на этих векторах (в произвольном базисе).
Ну всё ж не совсем произвольном, конечно, а произвольном ортонормированном.
Матрица Грама набора векторов
не зависит ни от какого базиса, только от евклидовой структуры:
Эту матрицу можно
вычислить зная координаты векторов в некотором базисе и
матрицу Грама этого базиса (ее еще называют метрическим тензором):
если
и
, то
В случае ортонормарованного базиса
-- единичная матрица и получается приведенная ранее формула.
Доказать формулу для объема
можно так:
0) База индукции
очевидна
допустим мы доказала утверждение для всех
1) если вектор
является линейной комбинацией векторов
, то
(это принцип Кавальери... или выражение того факта, что k-объем параллелепипеда -- это произведение (k-1)-объема основания на высоту)
Ясно, что вектор
можно выбрать так, чтобы
был перпендикулярен всем векторам
2) Матрица Грама набора
является блочно-диагональной и ее определитель равен произведению определителя матрицы Грама набора
на
-- квадрат высоты
-- Ср мар 24, 2010 17:20:43 --Определителю
он равен, определителю (плюс-минус, конечно)
Матрица эта может не быть квадратной