Бесконечность и алгоритмы

[Tigran]

Полагаю, что достатончо актуально рассматривать понятие бесконечности в связи с алгоритмами процессов. Эта идея родилась у меня при изучении теории пределов (известно, что в курсе математического анализа рассматриваются пределы при $x\rightarrow +\infty$ и $x\rightarrow -\infty$). Однако изменение значения переменной есть процесс, всякий процесс имеет алгоритм, а ни один шаг алгоритма не может быть реализован за нулевое время; тогда так как приращение переменной в общем случае меньше $\infty$, то время достижения переменной этого значения оказывается равным $\infty$, следовательно, можно сделать следующее заключение: все конструкции математического анализа, так или иначе содержащие в себе процессы изменения с характеристиками $x\rightarrow +\infty$ и/или $x\rightarrow -\infty$, являются эфемерными конструкциями, то есть от них вполне можно отказаться, ибо ни один реальный процесс не соответствует конструкции $x\rightarrow +\infty$ ( $x\rightarrow -\infty$).

Лично я не вижу ошибки в своем рассуждении и буду благодарен за любые критические замечания.

[dmd]

В абстрактной математике нет объекта "время", в мат.анализе нет особо выделенной переменной с названием "время". Исходно все переменные равнозначны, зависимости между переменными возникают только при введении функций. Не существует вселенско-универсальной функции-зависимости, связывающей любую переменную с некой универсальной переменной "время". Или, по крайней мере, не доказано, что существует. Поэтому фраза "изменение значения переменной есть процесс, всякий процесс имеет алгоритм, а ни один шаг алгоритма не может быть реализован за нулевое время" не корректна. К тому же, есть масса примеров функций, у который в особых точках при нулевом изменении аргумента наблюдается ненулевое изменение функции.

[migmit]

Добавим также, что математике глубоко плевать, что там кому кажется эфемерным, и математика не собирается отказываться от полезных абстракций из-за таких пустяков как "реальные процессы".

[errnough]

Tigran в сообщении #301617 писал(а):

ни один шаг алгоритма не может быть реализован за нулевое время;

Вам совершенно справедливо указали на то, что обсуждая понятие в математике, Вы обязаны оставаться в терминах той области, где Вы ведете рассуждения. Иначе правильных логичных рассуждений не построить.

Ваш вопрос выходит за рамки математики и должен быть рассмотрен иначе. Возьмите пример попроще для этой же темы. Здесь уже рассматривался вопрос о значении записи $0.(9)$. Допустима ли запись $0.(9)=1$?

По смыслу заданного Вами вопроса этот пример должен быть рассмотрен так:
Можно ли процесс приравнять состоянию? ...уточняем:
Можно ли процесс построения записи числа правнять факту существования числа? ...уточняем еще:
Можно ли бесконечный во времени процесс построения записи числа приравнять единичному завершенному состоянию, т.е. сущности без понятия изменения во времени?

Но математики не обязаны в терминах математики давать пояснения на вопрос, где присутствует понятие время. И совершенно справедливо. Поэтому предложенный выше путь тупиковый. Вам нужно переключить акцент на "процесс (вычисления, построения)". Но и такого понятия в математике нет. А задавать вопросы нужно оставаясь в терминологических рамках. Начинайте анализировать математические тексты и Вы найдете, например, высказывание "невозможность указать (построить, вычислить, сделать выбор) какой-то мат.объект влечет за собой то-то и то-то". Здесь и сидит в неявном виде понятие "время". Ход мыслей понятен? :)

[PAV]

Интересно, а предельный переход $x\to 0$ автор темы признает? Или до таких переходов его изучение математического анализа еще не дошло?

[JMH]

Мне кажется, что автор не вполне осознает, что все элементы последовательности принимают свое значение одновременно, а не последовательно, как может показаться из созерцания самого слова "последовательность". Кроме того, фигуры речи типа: "устрмим переменную к бесконечности" неявно подразумевают действие, совершаемое в будущем, что способствует интуитивному восприятию, но в принципе неверно.

[Maslov]

JMH в сообщении #302508 писал(а):

Мне кажется, что автор не вполне осознает, чтовсе элементы последовательности принимают свое значение одновременно, а не последовательно

А на мой взгляд, сказать, что элементы последовательности принимают свои значения одновременно -- это не более осмысленно, чем сказать, что они принимают эти значения последовательно: в математике (если не рассматривать темпоральные логики) вообще нет категории времени, поэтому оба наречия одинаково неприменимы. Члены последовательно просто имеют значения.

[maxmatem]

Цитата:

всякий процесс имеет алгоритм,

ну это явно не совсем верно

[Tigran]

Maslov в сообщении #302512 писал(а):

в математике (если не рассматривать темпоральные логики) вообще нет категории времени, поэтому оба наречия одинаково неприменимы

Благодарю за ценное замечание - теперь я, кажется, понял, почему у меня вообще мой вопрос возник. Однако позвольте Вас спросить: а есть ли - с Вашей точки зрения - хоть какая-то необходимость построения математики, в которой фундаментальными будут понятие "время" и "алгоритм"?

[Xaositect]

Tigran в сообщении #303165 писал(а):

Благодарю за ценное замечание - теперь я, кажется, понял, почему у меня вообще мой вопрос возник. Однако позвольте Вас спросить: а есть ли - с Вашей точки зрения - хоть какая-то необходимость построения математики, в которой фундаментальными будут понятие "время" и "алгоритм"?

Есть теория сложности вычислений, она изучает, в том числе, количество шагов алгоритма, требуемых для получения результата. Это может служить некоторой моделью понятия "время выполнения программы".

[Maslov]

Tigran в сообщении #303165 писал(а):

Однако позвольте Вас спросить: а есть ли - с Вашей точки зрения - хоть какая-то необходимость построения математики, в которой фундаментальными будут понятие "время" и "алгоритм"?

К тому, о чем уже сказал Xaositect, могу добавить следующее:
1. Конструктивные процессы (алгоритмы) и объекты, конструируемые в результате их выполнения, являются предметом изучения конструктивной математики. Однако категория времени, как таковая, в ней тоже отсутствует.
2. В явном виде время фигурирует в темпоральных логиках, применяющихся, в частности, в задачах формальной верификации технических и программных систем (Model checking)