Понятия полноты и компактности

[wagant]

Объясните, пожалуйста, в чем разница между понятиями полноты и компактности.

Компактность: Множество $M \subset X$ метрического пространства $X$ называется компактным, если всякая последовательность в $M$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из $M$.

Полнота: Метрическое пространство $(X, \rho)$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в $X$.

В обоих определениях мы имеем последовательности, сходящиеся к элементу из множества. Тогда в чем разница? Буду благодарен, если кто-нибудь может привести простые примеры полных/неполных пространств и компактных/некомпактных.

[Хорхе]

Вообще-то первое определение -- это так называемая секвенциальная компактность.

Конечно же, полнота подпространства метрического пространства следует из секвенциальной компактности. Наоборот нет. Читайте учебник!

[wagant]

Да, теперь разобрался. Спасибо!

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #301227 писал(а):

Вообще-то первое определение -- это так называемая секвенциальная компактность.

вообще-то для метрического пространства секвенциальная компактность и комрактность это одно и тоже

[Хорхе]

terminator-II в сообщении #301242 писал(а):

вообще-то для метрического пространства секвенциальная компактность и комрактность это одно и тоже

Ой, точно

[maxmatem]

Вот примеры полных и неполных пространств .Возьмите такое пространство $\[X = \left( {0;2} \right)\,\,\,\,\] $ с метрикой $\[\rho (x;y) = |x - y|\]$,
и фундаментальная последовательность $\[{x_n} = \left. {\left\{ {\frac{1} {n}} \right.} \right\}\]$ не имеет предела в данном пространстве, значит пространство не полное! Рассмотрите пространство непрерывных на отрезке $[0;1]$ функций $\[{C_{\left[ {0;1} \right]}}\,\]$.,
с метрикой $\[\begin{gathered} \,\rho (x(t);y(t)) = {\max _{t \in \left[ {0;1} \right]}}\{ |x(t) - y(t)|\} \hfill \\\hfill \\ \end{gathered} \]$-оно полное.

[paha]

итог в двух словах: в случае метрических пространств полнота является необходимым условием компактности
метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено

например вещественная прямая - полное пространство (принцип дедекинда), но не компактное

[Профессор Снэйп]

paha в сообщении #301370 писал(а):

метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено

Напомните, пожалуйста, что понимается под вполне ограниченным пространством.

-- Вт мар 23, 2010 21:26:23 --

Случайно не это понятие имеется в виду?

[terminator-II]

Yeah this is it

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Выскажусь, может не к месту... Секвенциальная компактность --- это дурь. Не, конечно, она имеет место быть и для метрических пространств даже равносильна компактности. Но она затеняет смысл понятия компактности. Посему ею надо пользоваться как можно реже. А как можно чаще надо напоминать истинное определение компактности: из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Компактные множества --- это, по сути, "конечные" множества. Компактность --- аналог конечности

[Padawan]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп
она чисто технически удобнее в функциональном анализе. В топологии да, секвенциальная компактность не используется практически.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #301452 писал(а):

она чисто технически удобнее в функциональном анализе.

Не чисто технически. Секвенциальная компактность равносильна компактности в хаусдорфовых пространствах с первой аксиомой счетности. Этим и вызвано удобство: расуждая на языке последовательностей, мы используем тот факт, что пространство обладает первой аксиомой.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #301460 писал(а):

Секвенциальная компактность равносильна компактности в хаусдорфовых пространствах с первой аксиомой счетности.

Нет по-моему. Сейчас посмотрю (в Эдвардсе на 38 стр.) Первая аксиома- это которая локальная?

-- Вт мар 23, 2010 20:22:39 --

Вторая нужна для равносильности. А это и получится метризуемое пространство.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #301447 писал(а):

... Секвенциальная компактность --- это дурь. Не, конечно, она имеет место быть и для метрических пространств даже равносильна компактности. Но она затеняет смысл понятия компактности.

Всё в точности наоборот. Секвенциальная компактность -- это ровно то, что непосредственно нужно для практических целей. Т.е. для доказательств разных там теорем существования в ситуациях, когда существуемый элемент заведомо не единственен. В таких случаях практически невозможно предъявить последовательность, сходящуюся к искомому элементу. Ибо так устроен мир, увы: если можно доказать сходимость конкретной последовательности -- то обыкновенно примерно теми же приёмами можно доказать и единственность решения.

Компактность же (в разумном, конечно, т.е. в секвенциальном смысле) вот как раз и позволяет зацепиться за хоть что-то; ну а уж доказать, что это "что-то" и есть то что нужно -- это уже дело техники.

Т.е. она интересна для сугубо вычислительных задач, ибо любое вычисление (кроме тривиальных) -- это всегда некий процесс построения последовательности приближений к точному решению.

А вот как раз всякие там покрытия и прочие эпсилон-сети -- не более чем технические трюки, полезные для оформления доказательств. Да, полезные, но и не более того.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #301467 писал(а):

Нет по-моему. Сейчас посмотрю (в Эдвардсе на 38 стр.) Первая аксиома- это которая локальная?

Padawan в сообщении #301467 писал(а):

Вторая нужна для равносильности. А это и получится метризуемое пространство.

Я несколько иначе ставлю вопрос. Имеется топологическое пространство (не обязательно компактное), спрашивается при каких условиях на это пространство, всякое компактное подмножество в нем секвенциально компактно и наоборот. А Вы говорите об условиях при которых, компактность топ. пространства равносильна его счетной компактности.
Но возражал я Вам про другое. Так или иначе рассуждать о компактности в терминах последовательностей нам позволяет специфика пространства, а не просто техника.