Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца

[Someone]

olav в сообщении #300413 писал(а):

Вы же сами прекрасно знаете, что из определения частной производной следует, что частная производная функции бывает только по аргументу функции, и не бывает частной производной функции по аргументу аргумента функции http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%B0%D1%8F.

olav в сообщении #300413 писал(а):

Так что в приведенной вами ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule ... _variables явная опечатка.

Как профессиональный математик, подтверждаю, что формулы частных производных сложной функции

$${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

и

$${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$$

написаны совершенно правильно. Выводятся они довольно просто, вывод можно найти в учебнике математического анализа.

[EEater]

olav в сообщении #300473 писал(а):

Нельзя ли вначале узнать определение скорости света в Вашей версии? Чтобы понять, что такое настоящая скорость света...

Легко - скорость (неважно, чего) это производная координаты по времени. Сколь был бы я счастлив, если бы оно было прославлено как мое определение. Увы, его можно найти в любом школьном учебнике...

[myhand]

olav в сообщении #300451 писал(а):

А что такое нерелятивистский предел? В нерелятивизме нет предельной скорости.

$v<<c$. Координаты, скорости, время - преобразуются в соответствии с преобразованиями галилея. Как преобразуются плотности зарядов и плотности токов?

olav в сообщении #300451 писал(а):

А против того, что человечество пока не научилось измерять скорость света, а научилось измерять лишь разность скорости света и скорости измерительного прибора, возражаете? Какие у вас основания возражать?

Принцип относительности. Мы измеряем скорость (света, да чего угодно) в СО, где покоится прибор. Не разность - а скорость в данной системе отсчета.

olav в сообщении #300451 писал(а):

аргументом которых является $x$.

Нет. Было $z(u,v)$. Сделана замена переменных $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$.

Про частные производные разговор короткий - Вам идти читать учебник. Сказали буквально где. В чем еще проблема?

EEater в сообщении #300477 писал(а):

Легко - скорость (неважно, чего) это производная координаты по времени. Сколь был бы я счастлив, если бы оно было прославлено как мое определение. Увы, его можно найти в любом школьном учебнике...

Я тоже не классик - хоть и уже опередил вас в этом треде

Someone в сообщении #300475 писал(а):

написаны совершенно правильно. Выводятся они довольно просто, вывод можно найти в учебнике математического анализа.

прямую ссылку на учебник уже дали.

EEater в сообщении #300460 писал(а):

Цитата:

Но тихая подмена частной производной по времени на полную производную по времени, которую проделал автор, не прошла незамеченной.

Ну это смешно и обсуждать - материал элементарный.

Дак пациент сопротивляется

[olav]

EEater в сообщении #300460 писал(а):

Цитата:

Но тихая подмена частной производной по времени на полную производную по времени, которую проделал автор, не прошла незамеченной.

Ну это смешно и обсуждать - материал элементарный.

Что именно вас рассмешило? Дана функция $E_x=E_x(t',x')$, где $t'=u(x,t)$, $x'=v(x,t)$. Тогда $E_x(t',x')=g(x,t)$
Запишите чему равна полная производная $\frac{dE_x}{dt}$. Очевидно, она равна частной производной $\frac{\partial g}{\partial t}$. А о частной производной $\frac{\partial E_x}{\partial t}$ при таком представлении $E_x$ вообще не имеет смысла говорить, потому что аргумент $t$ вообще не является аргументом функции $E_x=E_x(t',x')$.

-- Вс мар 21, 2010 20:25:39 --

EEater в сообщении #300477 писал(а):

olav в сообщении #300473 писал(а):

Нельзя ли вначале узнать определение скорости света в Вашей версии? Чтобы понять, что такое настоящая скорость света...

Легко - скорость (неважно, чего) это производная координаты по времени.

А что такое координаты света? То есть скорость света по-вашему - это производная радиус-вектора света по времени Я правильно понял?

Цитата:

Сколь был бы я счастлив, если бы оно было прославлено как мое определение. Увы, его можно найти в любом школьном учебнике...

-- Вс мар 21, 2010 20:37:27 --

Someone в сообщении #300475 писал(а):

olav в сообщении #300413 писал(а):

Вы же сами прекрасно знаете, что из определения частной производной следует, что частная производная функции бывает только по аргументу функции, и не бывает частной производной функции по аргументу аргумента функции http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%B0%D1%8F.

olav в сообщении #300413 писал(а):

Так что в приведенной вами ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule ... _variables явная опечатка.

Как профессиональный математик, подтверждаю, что формулы частных производных сложной функции

$${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

и

$${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$$

написаны совершенно правильно.

А как для данного случая будут выглядеть формулы полных производных
${dz \over dx}=$?
${dz \over dy}=$?

Цитата:

Выводятся они довольно просто, вывод можно найти в учебнике математического анализа.

А это-то как тогда прокомментируете http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D0%B8? В русской википедии полная лажа написана?

[Someone]

olav в сообщении #300491 писал(а):

EEater в сообщении #300460 писал(а):

Что именно вас рассмешило? Дана функция $E_x=E_x(t',x')$, где $t'=u(x,t)$, $x'=v(x,t)$. Тогда $E_x(t',x')=g(x,t)$
Запишите чему равна полная производная $\frac{dE_x}{dt}$.

Ничему. Термин "полная производная" применяется по отношению к формулам типа

когда все "явные" аргументы функции (их может быть больше одного) зависят от одной переменной: $z=f(x;y)$, где $y=y(x)$, то есть, $z=f(x;y(x))$ — сложная функция одной независимой переменной $x$.

[EEater]

olav в сообщении #300491 писал(а):

А что такое координаты света? То есть скорость света по-вашему - это производная радиус-вектора света по времени Я правильно понял?

Хороший вопрос, однако. Но я его предвидел, и не написал "производная радиус-вектора". Потому что такая производная тоже вектор, а скорость света, строго говоря, вектором не является, ни в одном учебнике Вы не найдете записи ее в виде вектора. И не найдете упоминания про модуль вектора (везде пишут: величина). Дело в том, что ей не соответствует никакая 4-скорость. Величина скорости света инвариантна, но никакой модуль 3-вектора не инвариантен.
А вот что такое координата света (линейная) - понять легко. Например, это передний фронт светового импульса в пространстве, вдоль направления его распространения - в чем проблема-то?

[olav]

Someone в сообщении #300506 писал(а):

olav в сообщении #300491 писал(а):

EEater в сообщении #300460 писал(а):

Что именно вас рассмешило? Дана функция $E_x=E_x(t',x')$, где $t'=u(x,t)$, $x'=v(x,t)$. Тогда $E_x(t',x')=g(x,t)$
Запишите чему равна полная производная $\frac{dE_x}{dt}$.

Ничему. Термин "полная производная" применяется по отношению к формулам типа

когда все "явные" аргументы функции (их может быть больше одного) зависят от одной переменной: $z=f(x;y)$, где $y=y(x)$, то есть, $z=f(x;y(x))$ — сложная функция одной независимой переменной $x$.

Ну, то есть в русской википедии здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%B0%D1%8F, где говорится о том, что частная производная может быть только, как вы выразились, от "явного" аргумента функции, и здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D0%B8, где дается определение полной производной функции сильно отличное от определения полной производной, которое привели вы (все явные аргументы функции зависят более чем от одной переменной), написана полная лажа? Как вы все это прокомментируете?

[myhand]

olav в сообщении #300518 писал(а):

полной производной функции сильно отличное от определения полной производной, которое привели вы, написана полная лажа? Как вы все это прокомментируете?

Там дается определение полной производной _вдоль_траектории_. Это как раз случай, когда независимые аргументы функции $z(x,y)$ связаны соотношениями $x=x(t)$, $y=y(t)$. То, что делал EEater называется заменой переменных. Была функция $E(t,x)$ - мы выразили ее аргументы ($t$ и $x$) через новые независимые переменные ($t'$ и $x'$): $t=t(t',x')$ и $x=x(t',x')$.

[Someone]

olav в сообщении #300491 писал(а):

А как для данного случая будут выглядеть формулы полной производной
${dz \over dx}=$?
${dz \over dy}=$?

Никак. "Полная производная" - это когда все переменные в конечном счёте зависят от одной переменной.

olav в сообщении #300491 писал(а):

А это-то как тогда прокомментируете http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D0%B8? В русской википедии полная лажа написана?

Там $x_1,x_2,\ldots,x_n$ - не переменные, а параметры, которые считаются постоянными, а переменная, от которой всё зависит, только одна.

Кроме того, термин "полная производная" не является общепринятым и у разных авторов может иметь разный смысл. В учебниках Фихтенгольца и Кудрявцева этот термин даже не употребляется.
Встречается следующее понимание термина "полная производная". Предположим, у нас есть функция $z=z(x,y,u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$. Тогда у нас есть "частные производные" $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{\partial z}{\partial u}$, $\frac{\partial z}{\partial v}$ и "полные производные" $\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$, $\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$, которые учитывают зависимость функции $z$ от $x$ и $y$ через $u$ и $v$. Но для функции $z(u,v)$ такое различение смысла не имеет, и используется стандартный термин "частная производная".

[olav]

Someone в сообщении #300527 писал(а):

olav в сообщении #300491 писал(а):

Предположим, у нас есть функция $z=z(x,y,u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$. Тогда у нас есть "частные производные" $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{\partial z}{\partial u}$, $\frac{\partial z}{\partial v}$ и "полные производные" $\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$, $\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$, которые учитывают зависимость функции $z$ от $x$ и $y$ через $u$ и $v$. Но для функции $z(u,v)$ такое различение смысла не имеет, и используется стандартный термин "частная производная".

Такое различение смысла не имеет надо понимать так, что полная производная называется тогда частной производной, хоть и не является частной производной в строгом смысле этого термина, устанавливаемом общепринятым определением частной производной?
А теперь, предположим, у нас есть функция $z=z(u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$. Тогда у нас есть частные производные $\frac{\partial z}{\partial u}$ и $\frac{\partial z}{\partial v}$, а частных производных $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ у нас просто нет, если, конечно, пользоваться этим определением частной производной http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%B0%D1%8F, согласно которому частная производная функции может быть взята только по явному аргументу функции. А в учебниках, которыми вы пользуетесь, дается разве другое определение частной производной? Согласно определению частной производной функции из учебников, которыми вы пользуетесь, разве имеет смысл частная производная функции по аргументу, не являющемуся явным аргументом функции? Дайте лучше ссылку на определение частной производной функции, которым вы пользуетесь, чтобы снять все недоразумения.

[myhand]

olav в сообщении #300681 писал(а):

Дайте лучше ссылку на определение частной производной функции, которым вы пользуетесь, чтобы снять все недоразумения.

Самое обычное определение частной производной. _Любой_ учебник подойдет.

Вам дали ссылку на учебник Ильина, Поздняка. Главу, параграф, раздел. Сложно найти электронную версию?

http://lib.mexmat.ru/books/8056

"Ильин, Поздняк - Курс мат. анализа, ч.I. - гл. 14, параграф 4, пункт 4 - дифференцирование сложной функции." Все определения там есть, это вполне самодостаточный курс (хоть и на математиков ориентированный).

[Someone]

olav в сообщении #300681 писал(а):

Такое различение смысла не имеет надо понимать так, что полная производная называется тогда частной производной, хоть и не является частной производной в строгом смысле этого термина, устанавливаемом общепринятым определением частной производной?

Является. Называется: частная производная сложной функции.

olav в сообщении #300681 писал(а):

согласно которому частная производная функции может быть взята только по явному аргументу функции

Где Вы там увидели слово "только"?

Ещё раз: термин "полная производная" не является общепринятым и употребляется в двух случаях:
1) когда хотят подчеркнуть отличие явной зависимости функции от какой-то переменной и зависимости от той же переменной через посредство других переменных;
2) когда все переменные, от которых зависит функция, сами являются функциями одной переменной.

Во всех случаях "полная производная" - это либо обыкновенная производная функции одной переменной, либо частная производная функции нескольких переменных.

У меня уже возникают мысли о троллинге, поскольку вопрос тривиален, но решение с места не двигается.

[olav]

Someone в сообщении #300750 писал(а):

olav в сообщении #300681 писал(а):

Такое различение смысла не имеет надо понимать так, что полная производная называется тогда частной производной, хоть и не является частной производной в строгом смысле этого термина, устанавливаемом общепринятым определением частной производной?

Является. Называется: частная производная сложной функции.

Мало сказать "является". Докажите, что то, что принято называть частной производной по неявному аргументу сложной функции $z=z(u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$, является частной производной функции $z=z(u,v)$ в строгом смысле этого термина, устанавливаемом общепринятым определением частной производной.
Для меня очевидно, что то, что принято называть частной производной по неявному аргументу сложной функции $z=z(u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$ является частной производной по явному аргументу функции $g(x,y)=z(u,v)$, получаемой в результате явной подстановки $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y) в $z=z(u,v)$.

Цитата:

olav в сообщении #300681 писал(а):

согласно которому частная производная функции может быть взята только по явному аргументу функции

Где Вы там увидели слово "только"?

Слово "только" не нужно там видеть. Оно читается между строк. В приведенной ссылке http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%B0%D1%8F ведь ясно написано $\frac{\partial z}{\partial x}\equiv \frac{d_xz}{dx}$, где $d_xz$ - частный дифференциал функции $z$ по аргументу $x$. Но если у функции $z=z(u,v)$ нет аргумента $x$, то нет и частного дифференциала по аргументу $x$. Зато аргумент $x$ есть у функции $g(x,y)=z(u,v)$, получаемой в результате явной подстановки $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y) в $z=z(u,v)$.

Цитата:

Ещё раз: термин "полная производная" не является общепринятым и употребляется в двух случаях:
1) когда хотят подчеркнуть отличие явной зависимости функции от какой-то переменной и зависимости от той же переменной через посредство других переменных;
2) когда все переменные, от которых зависит функция, сами являются функциями одной переменной.

Во всех случаях "полная производная" - это либо обыкновенная производная функции одной переменной, либо частная производная функции нескольких переменных.

Я ничего не имею против терминологии. Я против того, чтобы не проводить различие между частной производной по неявному аргументу сложной функции и частной производной функции. А все "доказательство" EEater'a построено как раз на приравнивании $\frac{\partial E_x(t,x)}{\partial t}=\frac{\partial E_x(t',x')}{\partial t}$, где $t'=u(t,x)$, $x'=v(t,x)$. Но после явной подстановки $t'=u(t,x)$ и $x'=v(t,x)$ в $E_x(t',x')$ мы получим функцию $g(t,x)=E_x(t',x')\neq E_x(t,x)$

Цитата:

У меня уже возникают мысли о троллинге, поскольку вопрос тривиален, но решение с места не двигается.

А у меня возникают мысли о том, что оппоненты решили доказать неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея не при помощи математики, а при помощи чудес словесной эквилибристики.

[EEater]

olav в сообщении #300857 писал(а):

А все "доказательство" EEater'a построено

Я был бы счастлив, если бы оно было прославлено как мое доказательство. Увы, Вы его можете найти в известной статье Эйнштейна. Просто там оно свернуто, пропущены промежуточные выкладки, которые я восстановил.

[myhand]

olav в сообщении #300857 писал(а):

Цитата:

У меня уже возникают мысли о троллинге, поскольку вопрос тривиален, но решение с места не двигается.

А у меня возникают мысли о том, что оппоненты решили доказать неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея не при помощи математики, а при помощи чудес словесной эквилибристики.

Если это не троллинг - тогда просто безграмотность с Вашей стороны.

olav в сообщении #300857 писал(а):

Докажите, что то, что принято называть частной производной по неявному аргументу сложной функции $z=z(u,v)$, где $u=u(x,y)$ и $v=v(x,y)$, является частной производной функции $z=z(u,v)$ в строгом смысле этого термина, устанавливаемом общепринятым определением частной производной.

Надо обязательно хором с Вами читать учебник? Самому никак?

Прям по классику: "и вы, в присутствии двух людей с университетским образованием, позволяете себе с развязностью совершенно невыносимой, подавать какие-то советы космического масштаба и космической же глупости о том, как все поделить, и вы в то же время наглотались зубного порошку!.. "

PS: Someone и другим - назвать Ильина-Поздняка "ориентированным на математиков" - эт опечатка. Читать - _хоть и не на математиков ориентированный_. Так что не пинайте...