2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 про Ван дер Вардена (непрерывная нигде не дифференц. ф-ция)
Сообщение20.03.2010, 22:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
а меня уже довольно давно мучает изредка вот какой вопрос.

Есть известный пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}4^{-k}\varphi(4^kx)$, где $\varphi(t)$ -- это такая пила: она равна $t$ на промежутке $[0;1]$, затем $(2-t)$ на промежутке $[1;2]$ (т.е. такой треугольничек на промежутке $[0;2]$), а далее на всю ось распространяется по периодичности.

Доказательства сего факта мне под руку как-то не подворачивалось, потому и вопрос: а зачем, собственно, $4^k$?... почему не просто $2^k$?... Этого вроде как вполне достаточно, а логически куда проще.

Кто знает доказательство оригинального (вроде как) варианта с четвёркой, объясните, плиз: чего там Ван дер Варден натрюкачил?...

 Профиль  
                  
 
 Re: про Ван дер Вардена
Сообщение20.03.2010, 22:25 


21/06/06
1721
Доказательство есть в Фихтенгольце, том 2, пункт 444.

 Профиль  
                  
 
 Re: про Ван дер Вардена
Сообщение20.03.2010, 23:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Какое-то там занудное д-во, на две страницы; даже и не стал вчитываться.

Назовём каждое из слагаемых в сумме $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^{-k}\varphi(2^kx)$ функцией $k$-того уровня.

И назовём отношение $\delta f(\alpha,\beta)\equiv\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ разделённой разностью по точкам $\alpha$ и $\beta$ (как, собственно, все и делают).

Так вот. Для любой фиксированной точки $x$ пусть $\delta_1f$ -- разделённая разность по границам участка монотонности функции $k$-того уровня на участке монотонности той самой функции, захватывающем точку $x$. В то время как $\delta_2f$ -- разделённая разность по границам участка монотонности функции $(k-1)$-того уровня на своём участке монотонности, захватывающем только что упомянутый участок.

Тогда $\delta_2f$ отличается от $\delta_1f$ на плюс-минус единицу. Причём при всех $k$. (Ну тут, честно сказать, несколько строчек пропущены; впрочем, достаточно очевидных.)

Что противоречит тому факту, что при наличии производной в точке $x$ должно выполняться $\delta f(\alpha,\beta)\to f'(x)$ при $\beta-\alpha\to0$, $\beta-\alpha>0$ и $x\in[\alpha;\beta]$. (И снова пропущена некая леммка; но она ведь и коротенькая, и имеет и самостоятельную ценность.)

Так по-прежнему и не понимаю, зачем четвёрка вместо двойки. В чём там фишка с этой конкретно четвёркой. В чём её выгодность.

 Профиль  
                  
 
 Re: про Ван дер Вардена
Сообщение21.03.2010, 03:57 
Аватара пользователя


06/01/06
967
ewert в сообщении #300019 писал(а):
Так по-прежнему и не понимаю, зачем четвёрка вместо двойки.
С двойкой будет уже совсем другая функция: http://en.wikipedia.org/wiki/Blancmange_curve


Continuous nowhere differentiable functions
Takagi and van der Waerden functions (p.36)
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: про Ван дер Вардена
Сообщение21.03.2010, 09:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Спасибо, но я так и не понял: зачем понадобилась четвёрка вместо двойки?... (тем более что Такаги был раньше Ван дер Вардена)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group