про Ван дер Вардена (непрерывная нигде не дифференц. ф-ция)

[ewert]

а меня уже довольно давно мучает изредка вот какой вопрос.

Есть известный пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}4^{-k}\varphi(4^kx)$, где $\varphi(t)$ -- это такая пила: она равна $t$ на промежутке $[0;1]$, затем $(2-t)$ на промежутке $[1;2]$ (т.е. такой треугольничек на промежутке $[0;2]$), а далее на всю ось распространяется по периодичности.

Доказательства сего факта мне под руку как-то не подворачивалось, потому и вопрос: а зачем, собственно, $4^k$?... почему не просто $2^k$?... Этого вроде как вполне достаточно, а логически куда проще.

Кто знает доказательство оригинального (вроде как) варианта с четвёркой, объясните, плиз: чего там Ван дер Варден натрюкачил?...

[Sasha2]

Доказательство есть в Фихтенгольце, том 2, пункт 444.

[ewert]

Какое-то там занудное д-во, на две страницы; даже и не стал вчитываться.

Назовём каждое из слагаемых в сумме $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^{-k}\varphi(2^kx)$ функцией $k$-того уровня.

И назовём отношение $\delta f(\alpha,\beta)\equiv\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ разделённой разностью по точкам $\alpha$ и $\beta$ (как, собственно, все и делают).

Так вот. Для любой фиксированной точки $x$ пусть $\delta_1f$ -- разделённая разность по границам участка монотонности функции $k$-того уровня на участке монотонности той самой функции, захватывающем точку $x$. В то время как $\delta_2f$ -- разделённая разность по границам участка монотонности функции $(k-1)$-того уровня на своём участке монотонности, захватывающем только что упомянутый участок.

Тогда $\delta_2f$ отличается от $\delta_1f$ на плюс-минус единицу. Причём при всех $k$. (Ну тут, честно сказать, несколько строчек пропущены; впрочем, достаточно очевидных.)

Что противоречит тому факту, что при наличии производной в точке $x$ должно выполняться $\delta f(\alpha,\beta)\to f'(x)$ при $\beta-\alpha\to0$, $\beta-\alpha>0$ и $x\in[\alpha;\beta]$. (И снова пропущена некая леммка; но она ведь и коротенькая, и имеет и самостоятельную ценность.)

Так по-прежнему и не понимаю, зачем четвёрка вместо двойки. В чём там фишка с этой конкретно четвёркой. В чём её выгодность.

[faruk]

ewert в сообщении #300019 писал(а):

Так по-прежнему и не понимаю, зачем четвёрка вместо двойки.

С двойкой будет уже совсем другая функция: http://en.wikipedia.org/wiki/Blancmange_curve


Continuous nowhere differentiable functions
Takagi and van der Waerden functions (p.36)
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf

[ewert]

Спасибо, но я так и не понял: зачем понадобилась четвёрка вместо двойки?... (тем более что Такаги был раньше Ван дер Вардена)