Какое-то там занудное д-во, на две страницы; даже и не стал вчитываться.
Назовём каждое из слагаемых в сумме
![$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^{-k}\varphi(2^kx)$ $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^{-k}\varphi(2^kx)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/3/133fc1db118cc3c28cc6b38ef2690df982.png)
функцией
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-того уровня.
И назовём отношение
![$\delta f(\alpha,\beta)\equiv\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $\delta f(\alpha,\beta)\equiv\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/e/6fe2e3e90d67386203373a1577c055bb82.png)
разделённой разностью по точкам
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
и
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
(как, собственно, все и делают).
Так вот. Для любой фиксированной точки
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
пусть
![$\delta_1f$ $\delta_1f$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/e/a5e9acbc33503a6013375bbc9dffea7382.png)
-- разделённая разность по границам участка монотонности функции
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-того уровня на участке монотонности той самой функции, захватывающем точку
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. В то время как
![$\delta_2f$ $\delta_2f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/5/35508651967a44bf046e168019296d7382.png)
-- разделённая разность по границам участка монотонности функции
![$(k-1)$ $(k-1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/a/d0a31471d21cdb0b506e118a027fc35782.png)
-того уровня на своём участке монотонности, захватывающем только что упомянутый участок.
Тогда
![$\delta_2f$ $\delta_2f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/5/35508651967a44bf046e168019296d7382.png)
отличается от
![$\delta_1f$ $\delta_1f$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/e/a5e9acbc33503a6013375bbc9dffea7382.png)
на плюс-минус единицу. Причём при всех
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. (Ну тут, честно сказать, несколько строчек пропущены; впрочем, достаточно очевидных.)
Что противоречит тому факту, что при наличии производной в точке
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
должно выполняться
![$\delta f(\alpha,\beta)\to f'(x)$ $\delta f(\alpha,\beta)\to f'(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/4/494fdb8fe7d1f5f3316ba7d5a53219ba82.png)
при
![$\beta-\alpha\to0$ $\beta-\alpha\to0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/8/d388b12bcc4aaa557b7dbd5fbbe29a0082.png)
,
![$\beta-\alpha>0$ $\beta-\alpha>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/0/17057b624619d98ea63e4dfb8403570982.png)
и
![$x\in[\alpha;\beta]$ $x\in[\alpha;\beta]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/1/bf177d2b0016e5403eb1392c4326e74d82.png)
. (И снова пропущена некая леммка; но она ведь и коротенькая, и имеет и самостоятельную ценность.)
Так по-прежнему и не понимаю, зачем четвёрка вместо двойки. В чём там фишка с этой конкретно четвёркой. В чём её выгодность.