Обобщение чисел Фибоначчи

[Бодигрим]

Как известно, числа Фибоначчи подчиняются формуле Бине:

$$F(n)={\varphi^n-(-\varphi)^{-n}\over \sqrt5}, \qquad n\in\mathbb{N}.$$

В интернете встречается идея обобщения чисел Фибоначчи путем введения аналитической функции

$$ F(z) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\phi^z} \right), $$

сужение которой на $\mathbb{N}$ совпадает с традиционной последовательностью Фибоначчи.

Чем обусловлен именно такой выбор вида функции комплексного переменного? Есть ли причины, по которым ее следует считать более естественной, чем, скажем,

$$ F(z) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^z - \frac{\cos^3{\pi z}}{\phi^z} \right) ?$$

[venco]

Первый вариант - это действительная часть от:

$$ F(z) = {1\over\sqrt 5} \left( \phi^z - {e^{i\pi z}\over\phi^z} \right) = {1\over\sqrt 5} \left( e^{z\ln \phi} - e^{-z(\ln\phi+i\pi)}\right)$$

А с кубом гораздо хуже.