Есть ли синтаксис в математике?

[errnough]

Под синтаксисом понимается следующее определение из Большой советской энциклопедии:

I Синтаксис (от греч. sýntaxis — построение, порядок)
в логике,
описание и изучение чисто формальной части формализованного языка (См. Формализованный язык), т. е. неинтерпретированного исчисления (См. Исчисление) (в отличие от логической семантики (См. Семантика), интересующейся как раз Интерпретациями исчислений). С. в узком смысле рассматривает только выразительные средства исчисления: алфавит и правила образования формул; логический С. интересуется, сверх того, дедуктивным аппаратом исчисления, т. е. его Аксиомами и правилами вывода теорем (См. Теорема). (Термин "С." в любом из этих смыслов применяют часто не к описаниям структуры исчисления, а к самой этой описываемой структуре.) Различают также элементарный С., относящийся к какому-либо конкретному исчислению, и теоретически и С. — общую теорию исчислений (формальных систем). Вся эта терминология введена австрийским логиком Р. Карнапом (1934).
См. Исчисление, Металогика, Метаязык и лит. при этих статьях.
II в грамматике, ...

Применимо ли понятие синтаксис непосредственно к математике, как формализованному языку?

Из того же источника:

Формализованный язык
1) в широком смысле – любая совокупность некоторым образом специализированных языковых средств с (более или менее) точно фиксированными правилами образования "выражений" (синтаксис Ф. я.) и приписывания этим выражениям определённого смысла (семантика).

Чем считать следующие записи, (подразумевается, что записи полные, уточнений не следует):

• «Пусть задана функция $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$»
  
• «Пусть дано: $a-b=c$, где $\left \{ a,b,c \right \} \in N$, и $b>a$»
  
• «Дано: число $a \in R$, и $\vec{b}$ — вектор, тогда умножение этого вектора на это число запишется: $\overrightarrow{a \cdot b}$»

В этих записях содержатся синтаксические ошибки, или семантические? Может, другие варианты: "некорректная запись", "ошибочная запись", "бессмысленная запись"...?

[AGu]

errnough в сообщении #298288 писал(а):

Применимо ли понятие синтаксис непосредственно к математике, как формализованному языку?

Не уверен, что понял вопрос. Является ли математика синтаксисом? Да — в том смысле, что некоторая часть математики в некотором смысле является синтаксисом в некотором из его смыслов. Является ли синтаксис математическим понятием? Да — в том смысле, что в математике есть понятие, в некотором смысле адекватно отражающее представление о синтаксисе в некотором из его смыслов.

errnough в сообщении #298288 писал(а):

Чем считать следующие записи, (подразумевается, что записи полные, уточнений не следует):

«Пусть задана функция $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$»

Это формула (утверждение, высказывание) языка теории множеств (или какого-либо аналогичного языка), расширенного понятием «функция», термами $N$, $0$, $1$, формулами $t_1+t_2$, $t_1\cdot t_2$ и т.п., содержащая свободные вхождения переменных $f$, $a$ и $n$. Впрочем, наличие слова «пусть» может означать, что эта формула записана не на языке теории, а на (расширенном) языке доказательств в этой теории, и тем самым является не высказыванием, а фрагментом доказательства.

errnough в сообщении #298288 писал(а):

«Пусть дано: $a-b=c$, где $\left \{ a,b,c \right \} \in N$, и $b>a$»

Это формула (аналогичным образом расширенного) языка теории множеств, содержащая свободные вхождения переменных $a$, $b$ и $c$. (Подразумеваемая здесь семантика формулы $\{t_1,t_2,t_3\}\in t_4$, по всей видимости, не является традиционной, но это неформальный момент.)

errnough в сообщении #298288 писал(а):

«Дано: число $a \in R$, и $\vec{b}$ — вектор, тогда умножение этого вектора на это число запишется: $\overrightarrow{a \cdot b}$»

А вот это уже «определение», т.е. правило расширения синтаксиса, снабженное семантикой в виде перевода на исходный язык. Его можно считать записанным на языке определений, включающим версии языка формальных грамматик и языка описаний правил перевода.

errnough в сообщении #298288 писал(а):

В этих записях содержатся синтаксические ошибки, или семантические? Может, другие варианты: "некорректная запись", "ошибочная запись", "бессмысленная запись"...?

Запись «синтаксически ошибочна», если она не является словом рассматриваемого языка. Поскольку язык Вы не фиксировали, говорить о синтаксических ошибках бессмысленно. В этом смысле это «бессмысленные записи». Тем не менее, в каждом случае подразумеваемый язык можно угадать (что я и попытался сделать выше) и при должном уточнении расширения языка эти записи станут синтаксически безошибочными. Что же касается «семантических ошибок», то нужно прежде уточнить, что это такое. Семантически ошибочной можно, например, считать систему определений, приводящую к зацикливанию перевода или к неполному переводу (т.е. к существованию непереводимых синтаксически безошибочных слов) и т.п. Такого рода ошибок я здесь не вижу. Вижу только некоторые несоответствия традициям.

[errnough]

Спасибо за развернутый ответ, уважаемый AGu,

Вопрос о синтаксисе самой математики (не внутри математики, а именно самой математики), наверное, несколько провокационный. Если синтаксис математики есть, то сама математика определенно попадает в класс формализованных языков. Если же синтаксиса математики нет, тогда нужно объяснить, почему в натуральном языке, гораздо менее строгом, синтаксис определенно есть, и в этом сравнении становится непонятным "отсутствие синтаксиса в математике". При этом в натуральном языке, с помощью формальной логики, переведенной на язык программирования, значительное количество ошибок синтаксиса отлавливается. Переводимость такой операции на алгоритмический язык это аргумент как минимум, в пользу частичной формальности даже натурального языка.

Вопрос этот, о синтаксисе, вовсе не праздный. Неявно любое доказательство использует правила формальной логики, которая сама требует синтаксиса над своими объектами. Математические доказательства еще в 1960 году были опробованы на вычислимость с помощью ЭВМ. Оказалось, что доказательства Эвклида очень легко переводились на алгоритмический язык, и машина доказывала теоремы лучше и быстрее своих создателей. Это аргумент в пользу полной формализуемости в этом частном примере доказательств и определений математики.

Может, прав Р.Фейнман, который отмечал, что математика — это язык плюс мышление? Однако в то же время он считал, что такой науки, как математика, не существует.

Мне кажется, что широкое определение в этом контексте звучит так: математика это средство для выражения алгоритма мышления. Тогда в этот же (логический) род попадает и Visual Basic. Действительно, тогда по этому признаку, математика не наука. Что здесь не так?

Теперь интересно сравнить подход к языкам программирования и к языку(?) "математика". Если первые подчеркивают необходимость синтаксиса для возможности алгоритмического решения (вычисления) по правилам формальной логики, то в области математики заметно определенное уклонение от четкого утверждения о наличии синтаксиса и семантики математики. Может, это отнести на субъективное нежелание стать на одну ступень с программистом, помогающим решать на формальном языке задачи других областей?

Из этого следует интересное наблюдение. Трудно представить работоспособный алгоритмический язык, который имеет практическое значение, и позволяет при этом пользователю менять произвольно свой синтаксис. Для первого отлаженного куска алгоритма это годится. Попытка же достроить что-то поверх, при сохранении произвола, приведет к трудно отлавливаемым ошибкам. Такое вообще невозможно там, где нижний, следующий слой логики, зашит в железо, скажем, в процессор. Именно процессор главный и безоговорочный судья в том компьютере, который сейчас перед нами.

В первом выражении подразумевается нечто установленным "по умолчанию". Если специально для $x$ не указана область значений, то считается $x \in R$. Соответственно, вот здесь:

• «Пусть задана функция $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$»

функция задана или функция не задана? Если при указанных условиях, и пропущенном $x\neq 0$ это не может считаться заданием функции, тогда всё высказывание должно быть помечено как ложное.

Если подобная запись встретилась один раз, то допустимо применить процедуру исправления ошибки. Однако логика подсказывает, что если подобная запись используется в дальнейшем (в определении, доказательстве) в качестве высказывания, то всё, что имеет это посылкой в других высказываниях, не имеет смысла как целостный алгоритм. В языке программирования очень просто написать четкий формальный алгоритм проверки и остановить пользователя на этой строке, указав как на ошибку (или выдать предупреждение). Предупреждение, это в общем, подводный айсберг для остальных, кто будет в дальнейм делать из таких посылок заключения.

В следущей записи,

• «Пусть дано: $a-b=c$, где $\left \{ a,b,c \right \} \in N$, и $b>a$»

как мне показалось, внимание отвлекается на нетрадиционность в этом контексте, записи того типа, что Вы указали, $\{t_1,t_2,t_3\}\in t_4$. Но в пакете "Математика" от Вольфрама тоже нетрадиционная запись для функций, например, $Cos[\alpha]$ в квадратных скобках. Понятно, что синтаксис в отношении алфавита может быть гибким, если не изменяет семантику между словами $Cos[\alpha]$ и $Cos(\alpha)$.

Однако здесь вопрос более существенный. Если синтаксис и семантика математики есть, то это высказывание, $a-b=c$, при указанных условиях, противоречиво уже формально, без подстановок. Что выберет математик для характеристики такой записи? (отбросим субъективное, когда преподаватель-математик безоговорочно укажет на ошибочность этой записи студенту, но встретив в авторитетной книге такую запись, предпочтет не спорить). Если синтаксис и семантика математики есть, то запись ошибочна формально, и допускать ее в доказательство абсурдно. Есть ли четкое мнение на этот счет?

Следующая запись это опять-таки простая проверка, насколько строго в математике обстоит дело для новых определений на предмет конфликтов с уже принятыми ранее определениями.

• «Дано: число $a \in R$, и $\vec{b}$ — вектор, тогда умножение этого вектора на это число запишется: $\overrightarrow{a \cdot b}$»

Судя по Вашему ответу, ограничений в математике на это нет, в том числе и на переопределение.

AGu в сообщении #298540 писал(а):

Поскольку язык Вы не фиксировали, говорить о синтаксических ошибках бессмысленно. В этом смысле это «бессмысленные записи».

Вот весь вопрос в том и состоит, математика это язык, со своим синтаксисом и семантикой, или это нечто другое? Если язык, то можно немедленно приступать к формализации этого языка и вычислению доказательств, предварительно прогнав имеющееся данные, определения, и присвоения, через spell checker, ну а проверку логики, через формализацию правил вывода заключений, оставить специальному алгоритму счета.

Из признания, что математика суть язык, будет следовать очень многое...

[ewert]

errnough в сообщении #298579 писал(а):

• «Пусть задана функция $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$»

функция задана или функция не задана? Если при указанных условиях, и пропущенном $x\neq 0$

Ничего не пропущено -- функция $x^0$ по определению целочисленной степени считается тождественно равной единице.

errnough в сообщении #298579 писал(а):

• «Пусть дано: $a-b=c$, где $\left \{ a,b,c \right \} \in N$, и $b>a$»

как мне показалось, внимание отвлекается на нетрадиционность в этом контексте, записи того типа, что Вы указали, $\{t_1,t_2,t_3\}\in t_4$.

"Нетрадиционность" -- это ещё мягко сказано. В приличном обществе принято или фигурных скобок не ставить, или другой значок вместо $\in$ использовать. Как говорится, "или крестик снимите, или...".

А других формальных ошибок в этой записи нет. Другое дело, что сама посылка ложна, но это ещё не означает ошибочности записи. Скажем, теорема

«Пусть $a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$. Тогда $(a+b)^2=a^2+b^2$.»

-- вполне себе истинна.

errnough в сообщении #298579 писал(а):

• «Дано: число $a \in R$, и $\vec{b}$ — вектор, тогда умножение этого вектора на это число запишется: $\overrightarrow{a \cdot b}$»

А вот эта запись уже не то что ошибочна, а просто бессмысленна. Если ещё можно как-то интерпретировать в последнем выражении, то значок $b$ там попросту лишён всякого смысла.

[AGu]

ewert в сообщении #298613 писал(а):

errnough в сообщении #298579 писал(а):

• «Дано: число $a \in R$, и $\vec{b}$ — вектор, тогда умножение этого вектора на это число запишется: $\overrightarrow{a \cdot b}$»

А вот эта запись уже не то что ошибочна, а просто бессмысленна. Если ещё можно как-то интерпретировать в последнем выражении, то значок $b$ там попросту лишён всякого смысла.

Кстати, да. (Я этого не заметил.)

По существу же предлагаемые к обсуждению вопросы мне, откровенно говоря, не представляются актуальными. Если я правильно понимаю топикстартера, то на все интересующие его вопросы (при их должном уточнении) уже давно имеются вполне четкие ответы. Математические тексты пишутся на разных языках. Разумеется, более традиционны неформальные высокоуровневые языки, но написанные на них фразы (достаточно грамотно написанные), как правило, легко переводятся на соответствующий формальный низкоуровневый язык. Наиболее распространенным низкоуровневым языком является язык предикатов первого порядка (разнообразных сигнатур). Его можно считать традиционным языком математических утверждений. Впрочем, его едва ли следует считать «языком математики». На роль последнего с большим успехом может претендовать «язык теорем», т.е. подъязык, состоящий из формул, выводимых в рассматриваемой теории. (Хотя и это — тоже с большой натяжкой. Пожалуй, зря я это написал. Ну да ладно.) В большинстве содержательных случаев такой язык является рекурсивно перечислимым (хоть и не рекурсивным) и поэтому поддающимся компьютерному анализу. Более того, в этом направлении, как известно, уже имеются существенные наработки. Так что означенное место далеко не голенькое, и дискутировать тут стоит, все же поглядывая по сторонам: там много интересного и, как я уже сказал, многие (если не все) поднятые тут вопросы уже раскрыты.

errnough в сообщении #298579 писал(а):

Трудно представить работоспособный алгоритмический язык, который имеет практическое значение, и позволяет при этом пользователю менять произвольно свой синтаксис.

Кстати, есть такие языки. По сути каждый современный язык имеет средства расширения/изменения собственного синтаксиса — в определенных рамках. Но есть и такие языки, где этих рамок практически нет. Один из таких языков — \TeX. Очень «работоспособный алгоритмический язык, имеющий практическое значение». Думаю, сильно не ошибусь, предположив, что начав файл с «чистого» \TeXа, можно наворотить в нем такое, что в конце возникнет чистейший перл.

[errnough]

ewert в сообщении #298613 писал(а):

функция $x^0$ по определению целочисленной степени...

Почему Вы используете в качестве довода "определение степени", если рассматриваемый объект есть "функция"? Логически, необходимо соблюдать субординацию, и сначала обратиться к определению степенной функции. Например, найти в Математической энциклопедии. Можно здесь. Как Вы объясните текст из этого определения вокруг знака $0^0$? Именно при $x=0$, по мнению энциклопедии, функция $x^0$ как математический объект неопределена. Зачем спускаться на ступеньку ниже и проверять еще и выполнимость условия "определение степени"?

В формальном алгоритмическом языке всё довольно просто. Достаточно посмотреть в документацию. Если математика это строгий язык, какие источники для установления однозначности нужно использовать в математике, чтобы установить правомерность записи, чтобы затем, допустим, сформировать из этой записи высказывание на алгоритмическом языке и подать на вход проверяющему алгоритму? Каков критерий однозначного выбора: авторитет или логика?

ewert в сообщении #298613 писал(а):

errnough в сообщении #298579 писал(а):

$\left \{ a,b,c \right \} \in N$

"Нетрадиционность" -- это ещё мягко сказано. В приличном обществе принято или фигурных скобок не ставить, или другой значок вместо $\in$ использовать. Как говорится, "или крестик снимите, или...".

Мне кажется, что Вы путаете знак и объект. К примеру, знак "19" это не математический объект "число". В римской записи тот же объект имеет знак "XIX". Если выключить показ картинок в браузере, то увидим нотацию $\LaTeX$, с множеством фигурных скобок. Это не помешает за этими знаками увидеть объекты. Почему в $\TeX$ Кнут использовал скобки, и Вольфрам использует их в пакете "Математика", очень даже понятно. При переводе языка А на другой язык Б понадобится формировать синтаксис А, даже если он не сформирован, и даже если всячески пользователями языка А избегается сама тема синтаксиса. Пример приведен нарочно со скобками, как отголосок из практики, и он гораздо логичнее, если оптимизировать по читаемости и дуракоупорности синтаксис математики. Это пройденный этап, хорошо обкатанный в языках программирования.

ewert в сообщении #298613 писал(а):

сама посылка ложна, но это ещё не означает ошибочности записи.

Вы считаете, что из ложной посылки имеет смысл делать заключение? И какой смысл, если установить истинность полученного заключения формально невозможно?

ewert в сообщении #298613 писал(а):

Скажем, теорема

«Пусть $a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$. Тогда $(a+b)^2=a^2+b^2$.»

-- вполне себе истинна.

Приведите, пожалуйста, все пропущенные логические рассуждения и полученные из них заключения, которые хотя бы обосновывают законность термина "тогда" ("следует") в приведенном высказывании-теореме.

AGu в сообщении #298634 писал(а):

Кстати, есть такие языки. По сути каждый современный язык имеет средства расширения/изменения собственного синтаксиса — в определенных рамках. Но есть и такие языки, где этих рамок практически нет. Один из таких языков — \TeX.

Мы, кажется, по-разному понимаем синтаксис формального языка. В $\TeX$ синтаксис определен внутри интерпретатора. Пользователь может менять код интерпретатора/компилятора? Наверное, может, но останется один против всех со своим искусственным синтаксисом в единственном экземпляре :) Хорошая работоспособность...

[ewert]

errnough в сообщении #298682 писал(а):

Например, найти в Математической энциклопедии. Можно здесь. Как Вы объясните текст из этого определения вокруг знака $0^0$? Именно при $x=0$, по мнению энциклопедии, функция $x^0$ как математический объект неопределена.

Вот-вот. Именно в Математической энциклопедии и почитайте, там всё существенно грамотнее изложено. А тут -- просто путаница в изложении. Нуль в нулевой степени не имеет смысла как значение функции двух переменных $f(x,y)=x^y$. К собственно степенным функциям это отношения не имеет. И вообще тот текст достаточно разгильдяйский.

Однако, несмотря на всю его разгильдяистость -- общий подход вполне разумен. Вы вот вроде как и читали статью, но явно не прочитали. Иначе обратили бы внимание, что там рассматриваются отдельно функции с рациональными показателями и отдельно -- с иррациональными (дотянуться до целых у авторов терпения не хватило, но про разгильдяйство я уже сказал). И области определения в каждом случае описываются отдельно.

И совершенно правильно рассматриваются и описываются. Ибо ровно так степенные функции и определяются -- постепенно. И на каждом шаге расширения класса допустимых показателей область определения соответственно сужается.

1). Сперва определяются степени с целыми неположительными показателями. Причём определяется индуктивно: $x^0\equiv1$ и далее $x^{n+1}\equiv x\cdot x^n$. Причём индукция здесь по существу -- иначе разумным образом не определить нулевую степень. Но тогда мы просто вынуждены считать $x^0=1$ и при $x=0$ тоже.

2). Потом определяются отрицательные целые степени; область определения сужается выкидыванием нуля.

3). Потом определяются рациональные степени (через обратные к целым степеням); область определения ещё более сужается.

И т.д.

И все эти частные определения -- были и остаются актуальными (и останутся, и во веки веков, аминь).

errnough в сообщении #298682 писал(а):

Пример приведен нарочно со скобками, как отголосок из практики,

Крайне неудачная практика. Пусть дискретники меня заклюют (вот прям сейчас ув. Профессор Снейп набежит -- и немедленно заклюёт). Но тем не менее: среди нормальных людей (т.е. не дискретников) принято различать включение как элемент и включение как подмножество. Даже специально и значки на этот счёт разные выдумали.

errnough в сообщении #298682 писал(а):

Приведите, пожалуйста, все пропущенные логические рассуждения и полученные из них заключения, которые хотя бы обосновывают законность термина "тогда" ("следует") в приведенном высказывании-теореме.

Не понял, чего Вы хотите, но на всякий случай напомню: из ложного утверждения следует любое другое.

[errnough]

ewert в сообщении #298718 писал(а):

И вообще тот текст достаточно разгильдяйский.

В общем-то не было необходимости давать субъективную оценку для приведенной цитаты из он-лайн Математической энциклопедии. Можно было коротко указать на отвод данного аргумента. В этом случае нужно оставить без рассмотрения вид "степенная функция", и перейти для проверки вниз по иерархии, к общему роду, "функция". Мы ответим не на вопрос «задана ли степенная функция?», а на вопрос «задана ли (в общем виде) функция?».

Вот две цитаты из двух пятитомных энциклопедий.

• [1] И. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977. т.5 стр.712:
  
  «функция -- одно из основных понятий математики. Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, который обозначен через $f(x)$. В этом случае говорят, что на множестве X задана функция $f$ (а также -- что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что $y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.»
• [2] П. Александров, А. Маркушевич, and А. Хинчин, Eds., Энциклопедия элементарной математики. Функции и пределы (Основы анализа), М.–Л.: Гос.изд. технико-теоретической литературы, 1952. Глава V: Общее понятие функции, $\S$54 Соответствие между множествами, стр.255:
  
  «переменное $Y$ есть функция переменного $X$ если указано некоторое правило, сопоставляющее с каждым элементом $X$ из множества $X$ некоторый элемент $Y$ из множества $Y$.»

Можно заметить, что цитата [1] содержит необходимое условие: каждому элементу $x$ поставлен в соответствие элемент $y$. Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие невозможности задать функцию -- существование элемента $x$, которому невозможно поставить в соответствие элемент $y$. Мы знаем, что этот элемент $x$ существует, $x=0$. Отсюда следует заключение: функция
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$
не задана. Q.E.D.

Аналогичные рассуждения следуют по цитате [2]. Разница только не в существовании элемента, а в существовании правила. Кстати, для математики вещь самая обыденная — расхождения и отсутствие однозначности в определениях для разных источников. Не в только что развитых новых объектах, а именно в базовых определениях. Говоря инженерно-бытовым языком, математика плохо документирована. А то, что задокументировано в энциклопедиях, и курсах, наподобие Фихтенгольца, конечно, не синтаксис. Синтаксис и семантика всплывают только при разборе и анализе предложений математики.

При выводе заключения, что обсуждаемая функция не задана, я опирался на тот факт, что вид (логический) наследует основные признаки рода (логического). Степенная, логарифмическая, линейная, кусочная... функции, суть виды, из рода "функции". Поэтому при невозможности сделать однозначное заключение по виду, мы переходим на следующий уровень проверки условий. Это всё чрезвычайно просто и ясно реализуется в алгоритмических языках. Если язык математики достаточно строг и логичен, то в нем такие вещи обязаны работать предельно четко. Однако именно в достаточной строгости математики у меня и появились сомнения.

Опять же, хочу подчеркнуть, что данная проверка опиралась на синтаксис и семантику языка "математика". Хотят ли носители математической культуры признавать наличие синтаксиса математики, или не хотят, но уже в представлении, при оперировании объектами в нашем сознании, мы этот синтаксис реконструируем.

Вопрос, и где он содержится в математике, если, к примеру, синтаксис языков программирования "зашит" в интерпретатор/компилятор?

ewert в сообщении #298613 писал(а):

Теорема «Пусть $a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$. Тогда $(a+b)^2=a^2+b^2$.»
-- вполне себе истинна.

ewert в сообщении #298718 писал(а):

на всякий случай напомню: из ложного утверждения следует любое другое.

Вы утверждаете, что «любое другое» это истинное? Из Вашего утверждения следует лишь то, что «любое другое» суть «или истинное, или ложное», т.е. неопределенность (неразрешимость, невычислимость).

Во-вторых, математика считается дедуктивной наукой. Из аксиом, постулатов, теорем, лемм и прочего, состоит множество предположительно истинных высказываний $Q$. Из элементов множества $Q$ по правилам логического вывода пытаются вывести новые истины как теоремы или отдельные высказывания. Из того, что Вы посылку признали ложной, следует, что обычная в математике процедура вывода теорем неприменима.

[ewert]

errnough в сообщении #298941 писал(а):

из он-лайн Математической энциклопедии.

Вовсе не Математической. В Математической та статья существенно аккуратнее.

errnough в сообщении #298941 писал(а):

Можно заметить, что цитата [1] содержит необходимое условие: каждому элементу $x$ поставлен в соответствие элемент $y$. Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие невозможности задать функцию -- существование элемента $x$, которому невозможно поставить в соответствие элемент $y$. Мы знаем, что этот элемент $x$ существует, $x=0$. Отсюда следует заключение: функция
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0 \cdot x^0$, где $n \in N, a_n\neq 0$
не задана. Q.E.D.

Можно заметить полнейшее непонимание смысла прочитанного. Ибо сказано в том писании:

Цитата:

Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$, который обозначен через $f(x)$.

С чего Вы решили, что в Вашем примере $X$ обязано совпадать с $\mathbb R$?...
(То, что оно всё-таки совпадает, лишь усугубляет ситуацию, но это -- момент чисто технический; а вот отсутствие логики в Вашем рассуждении -- принципиально.)

errnough в сообщении #298941 писал(а):

Вы утверждаете, что «любое другое» это истинное?

Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно при любом $B$.

[errnough]

Цитата: А. Шидловский, Трансцендентные числа, М.: Наука, 1987.
Самая первая страница, самые первые строки:



и далее ничего об области определения $x$. А до того, предисловие, форзац и крышка блока.

ewert в сообщении #298978 писал(а):

С чего Вы решили, что в Вашем примере $X$ обязано совпадать с $\mathbb R$?...

Действительно, с чего я так решил? Мне так показалось... Но, на самом деле, мне нужно строгое математическое определение, какая область значений у $x$ в приведенной цитате. Я хочу сделать синтаксический разбор этих строк, с учетом семантики математики. Цитат из опубликованных книг, с таким молчаливым синтаксисом, могу нарезать еще с полсотни. Где узнать, что конкретно подразумевается под конкретным знаком в конкретно этой цитате?
а) поспрашивать у математиков в курилке?
б) прочитать в энциклопедии (может, ссылка есть?)?
в) по умолчанию, испокон веков, но вслух нельзя, но все посвященные знают, что $x \in \mathbb R$, если иное не указано?

Я использовал (в). Не прав?

ewert в сообщении #298718 писал(а):

на всякий случай напомню: из ложного утверждения следует любое другое.

ewert в сообщении #298978 писал(а):

Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно при любом $B$.

Вы противоречите самому себе. Определитесь, что Вы утверждаете, следует любое, или следует истинное?

Непонятно, зачем Вы расширяете тезис и переходите на алгебраическую запись. У нас всё конкретно:

ewert в сообщении #298613 писал(а):

Скажем, теорема
«Пусть $a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$. Тогда $(a+b)^2=a^2+b^2$.»
-- вполне себе истинна.

Если Вы привели теорему, то почему не показываете процедуру вывода заключения о ее истинности? Впрочем, я не настаиваю... Этот вопрос можно и снять. Мне интересен вопрос из заглавия темы.

[ewert]

errnough в сообщении #299009 писал(а):

и далее ничего об области определения $x$. А до того, предисловие, форзац и крышка блока

Действительно странно. Но уж таблица умножения-то там приведена? Ну хоть на обложке?...

errnough в сообщении #299009 писал(а):

Определитесь, что Вы утверждаете, следует любое, или следует истинное?

Могу и в третий раз повторить: следует любое.

[AGu]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #298682 писал(а):

AGu в сообщении #298634 писал(а):

Кстати, есть такие языки. По сути каждый современный язык имеет средства расширения/изменения собственного синтаксиса — в определенных рамках. Но есть и такие языки, где этих рамок практически нет. Один из таких языков — \TeX.

Мы, кажется, по-разному понимаем синтаксис формального языка. В $\TeX$ синтаксис определен внутри интерпретатора. Пользователь может менять код интерпретатора/компилятора? Наверное, может, но останется один против всех со своим искусственным синтаксисом в единственном экземпляре Хорошая работоспособность...

Не думаю, что мы по-разному понимаем смысл термина «синтаксис». Мы просто рассуждаем на неформальном уровне (и при этом используем неформализованный язык. ) Речь зашла о «языке, который позволяет пользователю менять произвольно свой синтаксис». Это, конечно же, неформальное понятие. Как можно понимать утверждение о том, что язык позволяет что-либо изменять (и тем более свой синтаксис)? Без точных определений возможны лишь догадки. Вот мы и гадаем — каждый на свой лад.

Отметившись оффтопиком, кратенько вернусь к топику. Главный вопрос в этой теме, как мне кажется, был и остается следующим: является ли «математика» (а точнее, «язык математики») формализованным/формальным языком (а если является, то есть ли у него синтаксис/семантика и т.д.) Осмелюсь ответить: нет, не является. Можно говорить о языке теории предикатов, языке теории множеств, языке теории категорий, языке $\lambda$-исчисления и т.д. и т.п. Это все формальные языки, и все они являются частью «математики». В целом же «язык математики» формальным не является. Хотя бы потому, что один и тот же термин в «математике» может иметь массу разнообразных определений. Синтаксическая корректность и семантика какой-либо отдельной записи варьируются в зависимости от контекста. И наметившееся здесь обсуждение, как мне кажется, вполне успешно это показало.

Тем не менее отдельно взятое грамотно написанное математическое рассуждение, рассмотренное в некотором фиксированном контексте, вполне может считаться написанным на формальном языке. Контекстом служит набор определений (синтаксическое расширение выбранного базового формального языка, снабженное семантикой — правилами перевода на базовый формальный язык), делающий последующий текст если и не полностью формальным, то вполне поддающимся однозначному переводу на формальный.

[errnough]

ewert в сообщении #298613 писал(а):

теорема
«Пусть $a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$. Тогда $(a+b)^2=a^2+b^2$.»
-- вполне себе истинна.

Начну с определения теоремы:

[1] И. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977. том 5, стр.334:
Теорема — математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства. Понятие Т. развивалось и уточнялось вместе с понятием математич. доказательства. При использовании аксиоматического метода Т. рассматриваемой теории определяются как высказывания, выводимые чисто ло-гич. путем из нек-рых заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами. Поскольку аксиомы предполагаются истинными, то истинными должны быть и Т. Дальнейшее уточнение понятий доказательства и Т. связано с предпринятым в математич. логике исследованием понятия логического следствия, в результате чего для широкого класса математич. теорий процесс логич. вывода удалось свести к преобразованию формул, т. е. математич. утверждений, записанных на подходящем формализованном языке, по точно сформулированным правилам (вывода правилам), относящимся лишь к форме (а не к содержанию) предложений. В возникающих таким образом формальных теориях доказательством наз. конечная последовательность формул, каждая из к-рых либо является аксиомой, либо получается из нек-рых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода. Т. наз. формула, являющаяся последней формулой в нек-ром доказательстве.
Такое уточнение понятия Т. позволило получить, пользуясь строгими математич. методами, ряд важных результатов о математич. теориях. В частности, было установлено, что аксиоматич. теории, представляющие многие существенные разделы математики (напр., арифметику), неполны, т. е. существуют предложения, истинность или ложность к-рых нельзя установить чисто логич. путем на основе аксиом. Эти теории, как правило, неразрешимы, т. е. не существует единого метода (алгоритма), позволяющего установить, является ли Т. произвольное данное высказывание.

Проверка первая: поскольку доказательство не представлено, то по определению, вопреки утверждению ewert, обсуждаемая запись не теорема. Выходим.

Проверка вторая (уже не нужная): из утверждения:

ewert в сообщении #298718 писал(а):

из ложного утверждения следует любое другое.

следует, что ни истинность, ни ложность установить нельзя, если посылка признана ложной. Но теорема, по определению, это установленное путем доказательства истинное утверждение. Из невозможности установить истинность следует, то обсуждаемая запись не теорема. Выходим. (я здесь опустил рассмотрение законности перехода «следует».)

Формализация этих проверок, как видно, очень проста. Как и в предыдущих сообщениях, мы выбираем самый экономный способ проверки. Если предложение не является теоремой, то выяснять правильность и даже просто наличие самого доказательства нет смысла. Как только одна из посылок получает метку "ложь", все дальнейшие проверки прекращаются.

То есть, по-человечески, не нужно мучить расспросами, как из посылки:
$a-b=c$, где $a,b,c\in\mathbb N$ и $b>a$$ человек умудрился сделать заключение, будто:
$(a+b)^2=a^2+b^2$.

Формальный метод оказался автоматически очень человечным. Лично я — за введение документации на синтаксис и семантику математики как языка.

[AGu]

Мдяяя... Не могу избавиться от ощущения, что errnough начал маяться фигней. Буду признателен, если меня в этом разубедят, а пока — no comment.

[errnough]

AGu в сообщении #299083 писал(а):

Не могу избавиться от ощущения, что errnough начал маяться фигней.

:))) мне не стоило отвечать ewert? Не знаю, личных мотивов у меня нет. Для меня важны мысленные переходы, в смысле алгоритма, по очень простым математическим высказываниям.

Если сочтете эти вопросы неинтересными, не отвечайте. Но мысли кое-какие изложу.

Да, по главному вопросу Вы всё правильно сформулировали. Сначала стоит вопрос — является ли математика языком. А если ответ "да", то внутри него — является ли формализуемым этот язык, и если снова ответ "да", то отсюда, на мой взгляд, с необходимостью следует существование и синтаксиса, и семантики.

Если ответ "нет", математика не язык, и Вы (если не ошибаюсь) допустили, что математика это семейство языков (язык теории предикатов, языке теории множеств, языке теории категорий, языке $\lambda$-исчисления и т.д.)... Не приходим ли мы тогда к аналогии с программированием? Напомню Фейнмана: математика это язык плюс мышление. Математика $\equiv$ Программирование? И там, и там — семейства языков. В программировании есть функциональный язык, есть визуальный (диаграмм), есть целочисленный, есть аналоговый (я люблю свой старенький Мерседес, где хитроумное устройство подачи топлива к форсункам производитель называет гидравлическим компьютером).

То что Вы называете контекстом, в программировании называют предметной областью. Разные обозначения одного и того же по сути.

Совпадает и то, что программирование это не язык. Поэтому программирование (не язык) трудно формализуется. Компьютеры не создают программ для других компьютеров (по тем критериям, что какие действуют для людей-программистов).

Вопрос этот не праздный потому, что все три примера не получили однозначной трактовки. ewert утверждает, что там, дескать, задана функция, здесь якобы записана теорема... Вы тоже не дали однозначного заключения терминами из словаря математики. А ведь это очень простые примеры. Для проверок потребовалось спустится к словарям, где метаязыком выступил натуральный язык. Если же взять чуть повыше, где посылки это прежде уже доказанные теоремы, то многое становится предметом веры. Эти теоремы, как видно по этим простым примерам, могут быть заключениями из не четко однозначных посылок. Формально (логически) доказать на этом уровне уже не удается. Вопрос чаще всего остается таким: верить ли этому доказательству?