Уважаемый Someome. 1. Напоминаю, предложено доказательство отсутствия решений в целых числах для случая n = 3 при обязательной оговорке, что ни одно из чисел тройки x, y, z не равно нулю, так как в противном случае имеется бесконечное число решений. Попутно замечу (не я это придумал), что и в иррациональных действительных числах имеется бесконечное количество решений, например, при z равном корню кубическому из x^3 + y^3 и любых x и y. Не поэтому ли и М. М. Постников и Г. Эдвардс в упомянутых книгах , рассматривая случай n = 3, находят неясности в доказательстве Л.Эйлера и ищут и находят способ их обойти и прийти к «бесконечному спуску» ?
2. О спуске при n =2. Возьмите простейшее решение в общем виде уравнения Ферма при n = 2, например, (A^2 + 1)^2 - (A^2 - 1)^2 =
(2A)^2. Выберите любое целое A и вычислите тройку x, y , z. Например при А = 5 - 10, 24, 26. Теперь осуществляйте спуск, уменьшая А на каждом шаге на 1. Получите последовательно тройки: 8, 15, 17; 6, 8, 10; 4, 3, 5; 2, 0, 2; 0, 1, 1, которые все являются решениями в целых числах уравнения
z^2 - y^2 = x^2 в том числе и при a + b – c = 0. Есть и спуск и решения.
При n = 3 мы исходили из предположения существования минимальной тройки взаимно простых чисел x, y, z , удовлетворяющих равенству z^3 – y^3 = x^3 . Ясно, что при этом существует и бесконечное число больших троек, (например при не взаимно простых числах тройки 2x, 2y, 2z; 3x, 3y, 3z; 4x, 4y, 4z и так далее бесконечный ряд, по которому мы уже спустились до не существующего z^3 – y^3 = x^3 (не будете же Вы оспаривать
доказательство Э. Уайлза). Кроме того доказано, и Вы это не оспариваете, что при существовании z^3 - y^3 = x^3 должно существовать и решение уравнения
с^3 – b^3 = a^3 , где a, b, c остатки от деления чисел x, y, z на 3 , естественно меньшие x, y, z . Таким образом становится ясно, что спуск имеет место, и если доказать, что уравнение с^3 – b^3 = a^3 не имеет решений в целых числах, то это и доказывало бы верность утверждения Ферма при n = 3. Но , так как остатки могут быть из множества (0; +1, -1) получается , что решение есть 0^3 + 1^3 = 1^3 , что доказывало бы неверность утверждения Ферма. Поэтому и необходимо доказывать, что это решение не принадлежит множеству решений уравнения x^3 + y^3 = z^3, когда ни одно из чисел
x, y, z не равно нулю. Это доказывается именно тем, что это решение противоречит Необходимому условию Грюнтера существования решений исходного уравнения - n должно быть наименьшим числом.
3. Об использовании отрицательного остатка - 1. Остаток при представлении любого числа в виде N = 3u + v Всегда можно сделать как положительным так и отрицательным, изменяя на 1 число u. Поэтому мы вправе выбрать более подходящее представление. Правда, в выбранном случае выгода состоит только в том, что меньше число комбинаций остатков надо проверять. Можно, конечно, взять остатки все положительными из множества (0; 1; 2). При переборе (не забывайте что, один из остатков всегда равен нулю) мы все равно должны рассмотреть комбинацию (0; 1; 1) которая приводит к тому же решению
0^3 + 1^3 = 1^3 .
Дед. Россия. Ростов на Дону.
|