2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 02:01 


29/03/09
16
Как доказать выпуклость функции $\ f(x)=\left(x_1^{3/2} +x_2^{3/2}+\cdots+x_n^{3/2}\right)^{2/3}$ ?

Я знаю, что в общем случае это доказывается через матрицу Гессе, однако здесь должен быть более простой способ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 02:53 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Это $p$ норма вектора $x \in R^n$ (если компоненты берутся по абсолютной величине), $p=\frac{3}{2}$ и выпуклость доказывается с использованием неравенства треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 03:26 


29/03/09
16
Alexey1
Я и сам знаю, что это p-норма. Но неравенство треугольника для норм постулируется.
Значит, если я не знаю, что это норма, то у меня и нет оснований полагать, что для нее выполняется неравенство треугольника (кстати, какую форму этого неравенства Вы имели в виду?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 03:59 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Я имел ввиду неравенство $f(x+y) \leq f(x) +f(y)$, которое можно доказать с использованием неравенства Минковского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 04:14 


21/06/06
1721
По всей видимости, в Вашем случае достаточно аккуратно записать неравенство Минковского для чисел
$(tx_1, tx_2,...tx_n)$ и $((1-t)y_1, (1-t)y_2,...,(1-t)y_n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 09:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Aks1 в сообщении #297824 писал(а):
Я и сам знаю, что это p-норма. Но неравенство треугольника для норм постулируется.

По индукции достаточно доказать это для только двух переменных. А тогда в силу однородности всё сводится к выпуклости простенькой функции одной переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 14:50 


29/03/09
16
ewert в сообщении #297855 писал(а):
По индукции достаточно доказать это для только двух переменных. А тогда в силу однородности всё сводится к выпуклости простенькой функции одной переменной.
Простите, что доказать по индукции для двух переменных?

Sasha2 в сообщении #297829 писал(а):
По всей видимости, в Вашем случае достаточно аккуратно записать неравенство Минковского для чисел
$(tx_1, tx_2,...tx_n)$ и $((1-t)y_1, (1-t)y_2,...,(1-t)y_n)$
Да, действительно. Спасибо)

А как теперь доказать, что функция с обратной степенью $\ f(x)=\left(x_1^{2/3} +x_2^{2/3}+\cdots+x_n^{2/3}\right)^{3/2}$ вогнута?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 17:31 


21/06/06
1721
И то и другое весьма тривиально.
Тут даже и неравенство Минковского не неужно.
Достаточно вспомнить общую (весьма простенькую) теорему о соотношении между средними степенными.

Например в первом случае выпуклость была обусловлена тем, что функция была не чем иным как средним степенным порядка 3/2 (>1), а во втором случае вогнутость обуславливается тем, что данная функция есть среднее степенное порядка 2/3 (<1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 18:01 


29/03/09
16
Sasha2
Т.е. сравнить среднее степенное при соответствующих степенях (наши функции помноженные на константу) со средним арифметическим (которое будет меньше в первом и больше во втором случае)?
Что это даст?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение15.03.2010, 22:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Aks1 в сообщении #297956 писал(а):
Простите, что доказать по индукции для двух переменных?

Если утверждение верно для $(n-1)$-й переменной, то

$\big[(\theta x_1+(1-\theta)y_1)^p+\ldots+(\theta x_{n-1}+(1-\theta)y_{n-1})^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{1\over p}\leqslant$

$\leqslant\big[\big(\theta(x_1^p+\ldots+x_{n-1}^p)^{1\over p}+(1-\theta)(y_1^p+\ldots+y_{n-1}^p)^{1\over p}\big)^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{1\over p}=$

$=\Bigg[ x_1^p+\ldots+x_{n-1}^p\equiv u^p,\ y_1^p+\ldots+y_{n-1}^p\equiv v^p\Bigg]=$

$=\big[\big(\theta u+(1-\theta)v\big)^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{^1\over p}\leqslant \theta (u^p+x_n^p)^{1\over p}+(1-\theta)(v^p+y_n^p)^{1\over p}\equiv$

$\equiv\theta (x_1^p+\ldots x_{n-1}^p+x_n^p)^{1\over p}+(1-\theta)(y_1^p+\ldots y_{n-1}^p+y_n^p)^{1\over p}$,

т.е. тогда оно верно и для $n$ переменных тоже. Т.е. достаточно доказывать для двух переменных (два -- это необходимый минимум, это явно требуется для предпоследней строчки). А для двух -- сводится к тривиальной выпуклости функции одной переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение16.03.2010, 01:34 


29/03/09
16
ewert
А откуда на предпоследней строчке знак меньше?
Мне кажется, там больше должно быть. Ведь там два раза подряд раскрывается степень суммы

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклость функции
Сообщение16.03.2010, 08:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Aks1 в сообщении #298146 писал(а):
А откуда на предпоследней строчке знак меньше?

Это -- выпуклость для функции двух переменных: $f\big(\theta(u,x_n)+(1-\theta)(v,y_n)\big)\leqslant\theta f(u,x_n)+(1-\theta)f(v,y_n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group