Выпуклость функции

[Aks1]

Как доказать выпуклость функции $\ f(x)=\left(x_1^{3/2} +x_2^{3/2}+\cdots+x_n^{3/2}\right)^{2/3}$ ?

Я знаю, что в общем случае это доказывается через матрицу Гессе, однако здесь должен быть более простой способ.

[Alexey1]

Это $p$ норма вектора $x \in R^n$ (если компоненты берутся по абсолютной величине), $p=\frac{3}{2}$ и выпуклость доказывается с использованием неравенства треугольника.

[Aks1]

Alexey1
Я и сам знаю, что это p-норма. Но неравенство треугольника для норм постулируется.
Значит, если я не знаю, что это норма, то у меня и нет оснований полагать, что для нее выполняется неравенство треугольника (кстати, какую форму этого неравенства Вы имели в виду?)

[Alexey1]

Я имел ввиду неравенство $f(x+y) \leq f(x) +f(y)$, которое можно доказать с использованием неравенства Минковского.

[Sasha2]

По всей видимости, в Вашем случае достаточно аккуратно записать неравенство Минковского для чисел
$(tx_1, tx_2,...tx_n)$ и $((1-t)y_1, (1-t)y_2,...,(1-t)y_n)$

[ewert]

Aks1 в сообщении #297824 писал(а):

Я и сам знаю, что это p-норма. Но неравенство треугольника для норм постулируется.

По индукции достаточно доказать это для только двух переменных. А тогда в силу однородности всё сводится к выпуклости простенькой функции одной переменной.

[Aks1]

ewert в сообщении #297855 писал(а):

По индукции достаточно доказать это для только двух переменных. А тогда в силу однородности всё сводится к выпуклости простенькой функции одной переменной.

Простите, что доказать по индукции для двух переменных?

Sasha2 в сообщении #297829 писал(а):

По всей видимости, в Вашем случае достаточно аккуратно записать неравенство Минковского для чисел
$(tx_1, tx_2,...tx_n)$ и $((1-t)y_1, (1-t)y_2,...,(1-t)y_n)$

Да, действительно. Спасибо)

А как теперь доказать, что функция с обратной степенью $\ f(x)=\left(x_1^{2/3} +x_2^{2/3}+\cdots+x_n^{2/3}\right)^{3/2}$ вогнута?

[Sasha2]

И то и другое весьма тривиально.
Тут даже и неравенство Минковского не неужно.
Достаточно вспомнить общую (весьма простенькую) теорему о соотношении между средними степенными.

Например в первом случае выпуклость была обусловлена тем, что функция была не чем иным как средним степенным порядка 3/2 (>1), а во втором случае вогнутость обуславливается тем, что данная функция есть среднее степенное порядка 2/3 (<1).

[Aks1]

Sasha2
Т.е. сравнить среднее степенное при соответствующих степенях (наши функции помноженные на константу) со средним арифметическим (которое будет меньше в первом и больше во втором случае)?
Что это даст?

[ewert]

Aks1 в сообщении #297956 писал(а):

Простите, что доказать по индукции для двух переменных?

Если утверждение верно для $(n-1)$-й переменной, то

$\big[(\theta x_1+(1-\theta)y_1)^p+\ldots+(\theta x_{n-1}+(1-\theta)y_{n-1})^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{1\over p}\leqslant$

$\leqslant\big[\big(\theta(x_1^p+\ldots+x_{n-1}^p)^{1\over p}+(1-\theta)(y_1^p+\ldots+y_{n-1}^p)^{1\over p}\big)^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{1\over p}=$

$=\Bigg[ x_1^p+\ldots+x_{n-1}^p\equiv u^p,\ y_1^p+\ldots+y_{n-1}^p\equiv v^p\Bigg]=$

$=\big[\big(\theta u+(1-\theta)v\big)^p+(\theta x_n+(1-\theta)y_n)^p\big]^{^1\over p}\leqslant \theta (u^p+x_n^p)^{1\over p}+(1-\theta)(v^p+y_n^p)^{1\over p}\equiv$

$\equiv\theta (x_1^p+\ldots x_{n-1}^p+x_n^p)^{1\over p}+(1-\theta)(y_1^p+\ldots y_{n-1}^p+y_n^p)^{1\over p}$,

т.е. тогда оно верно и для $n$ переменных тоже. Т.е. достаточно доказывать для двух переменных (два -- это необходимый минимум, это явно требуется для предпоследней строчки). А для двух -- сводится к тривиальной выпуклости функции одной переменной.

[Aks1]

ewert
А откуда на предпоследней строчке знак меньше?
Мне кажется, там больше должно быть. Ведь там два раза подряд раскрывается степень суммы

[ewert]

Aks1 в сообщении #298146 писал(а):

А откуда на предпоследней строчке знак меньше?

Это -- выпуклость для функции двух переменных: $f\big(\theta(u,x_n)+(1-\theta)(v,y_n)\big)\leqslant\theta f(u,x_n)+(1-\theta)f(v,y_n)$.