Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Хорошо известно, что непосредственных многомерных расширений теории функций комплексной переменной на алгебры с тремя и более компонентами не существует. Это запрещает теорема Фробениуса, по сути гласящая, что алгебр с сохранением всех без исключения свойств комплексных чисел, включая коммутативность и ассоциативность умножения, а также отсутствие делителей нуля (или, что тоже самое, наличие делимости и обратных у всех чисел кроме нуля) - не существует.
Однако у комплексных чисел есть практически полный зеркальный аналог, который иногда именуют гиперболически комплексными или двойными числами. В отличие от комплексных чисел эти объекты образуют не поле, а коммутативное кольцо. В данной алгебре имеются делители нуля, у которых нет обратных и делить на которые нельзя точно также как и на число ноль. Однако на этой алгебре существуют гиперболические обобщения аналитических функций, которые Ларентьев и Шабат предложили называть h-аналитическими функциями. А также есть и теория таких функций, которая многим математикам представляется далеко не такой содержательной как ТФКП, но она по любому не тривиальна, хотя бы потому, что включает в себя в качестве полноценной составляющей теорию функций одной вещественной переменной.
Так вот, обобщение такой гиперболической теории функций на многомерные случаи, в том числе и включающие алгебры комплексных чисел в качестве подалгебры - никакая теорема не запрещает. Более того, существует теорема Вейерштасса, показывающая, что все такие алгебры с многомерным обобщением h-аналитических функций сводятся к прямым суммам m вещественных и n комплексных алгебр. Стоящие за такими алгебрами геометрии при n>1 и m>2 являются не евклидовыми или псевдоевклидовыми, а финслеровыми, в которых роль квадратичной метрической формы принимают на себя (2n+m)-арные метрические формы.
Самым интересным для анализа над такими алгебрами представляется тот факт, что кроме длин и углов, являющихся базовыми метрическими инвариантами пространств с обычными квадратичными типами метрических функций, у соответсвтующих им пространств есть место для более общих уже чисто финслеровских инвариантов. Точно также как конформные преобразования евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей приводили к появлению на их алгебраических аналогах аналитических и h-аналитических функций, соответственно, преобразования финслеровых пространств, сохраняющих такие дополнительные инварианты автоматически должны порождать классы выделенных функций, являющиеся естественными обьобщениями аналитических и h-аналитических. Возможно, теория таких функций окажется совсем даже не тривиальной и о ней можно говорить как о многмерном обощении ТФКП, вернее, ТФДП (теории функций двойной переменной).
Хотелось бы услышать мнения участников форума по данному поводу.

[Yarkin]

Наверно это отклик на предложение PAVа «…не обязательно Яркин…».

Time в сообщении #295848 писал(а):

Хорошо известно, что непосредственных многомерных расширений теории функций комплексной переменной на алгебры с тремя и более компонентами не существует. Это запрещает теорема Фробениуса, по сути гласящая, что алгебр с сохранением всех без исключения свойств комплексных чисел, включая коммутативность и ассоциативность умножения, а также отсутствие делителей нуля (или, что тоже самое, наличие делимости и обратных у всех чисел кроме нуля) - не существует.

Я высказываю свое мнение. Кватернион не является расширением понятия числа, ибо для него не работает принцип перманентности Ганкеля. По этой причине теорема Фробениуса не имеет никакого отношения к понятию расширения числа, поскольку он ее доказал на основе свойств кватерниона.

Time в сообщении #295848 писал(а):

В данной алгебре имеются делители нуля, у которых нет обратных и делить на которые нельзя точно также как и на число ноль.

Нет там никаких делителей нуля, но они есть в нашей алгебре из-за ошибки, о которой я говорю в моих темах «По определению…». Эти же нули возникают и там. Но там их математики видят, а в этой не видят.

Time в сообщении #295848 писал(а):

Возможно, теория таких функций окажется совсем даже не тривиальной и о ней можно говорить как о многмерном обощении ТФКП, вернее, ТФДП (теории функций двойной переменной).

Разумеется, все еще впереди.

[Time]

Yarkin в сообщении #296346 писал(а):

Наверно это отклик на предложение PAVа «…не обязательно Яркин…».

Нет. Первый раз о таком предложении слышу. Вы можете дать конкретную ссылку?

Yarkin в сообщении #296346 писал(а):

Кватернион не является расширением понятия числа, ибо для него не работает принцип перманентности Ганкеля. По этой причине теорема Фробениуса не имеет никакого отношения к понятию расширения числа, поскольку он ее доказал на основе свойств кватерниона.

Совершенно с Вами согласен, но по иной причине. Для меня кватернионы также не являются расширением понятия числа вообще и комплексного числа, в частности, потому что, все числа обладают коммутативностью произведений, а кватернионы - нет. Кроме того, в отличие от действительных и комплексных чисел, на кватернионах нет бесконечнопараметрического множества аналитических функций.

Yarkin в сообщении #296346 писал(а):

Нет там никаких делителей нуля, но они есть в нашей алгебре из-за ошибки, о которой я говорю в моих темах «По определению…». Эти же нули возникают и там. Но там их математики видят, а в этой не видят.

Хотите сказать, что в алгебре двойных чисел нет делителей нуля? Или Вы сейчас говорили о кватернионах? Если последнее, то там их действительно нет, но я то говорил о двойных числах и их коммутативно-ассоциативных расширениях на три, четыре, пять и более измерений. Здесь делители нуля всегда имеются..

[Xaositect]

Time в сообщении #296470 писал(а):

Нет. Первый раз о таком предложении слышу. Вы можете дать конкретную ссылку?

Time, я советую Вам не обращать внимания на Яркина. Он тут на форуме неоднократно продвигал свою "иррациональную единицу", а когда ему указали, что в получившейся алгебре есть делители нуля, попытался возвести еще стройную систему костылей и подпорок. Не помню, чем все закончилось.

-- Ср мар 10, 2010 23:33:34 --

Time в сообщении #295848 писал(а):

Хотелось бы услышать мнения участников форума по данному поводу.

Я далек от ТФКП и аналитической геометрии, но изложенные в первом посте идеи кажутся интересными.

[Time]

Xaositect

Делители нуля, во всяком случае, с точки зрения физики в алгебре двойных чисел - не такие уж нежелательные объекты. На псевдоевклидовой плоскости, которая соответствует алгебре двойных чисел точно также как евклидова плоскость соответствует алгебре комплексных чисел, им самым естественным образом сопоставляются точки и вектора светового конуса. h-аналитическим функциям соответствуют конформные преобразования двумерного пространства-времени, частными случаями которых являются движения (изометрические преобразования), составляющие суть двумерной СТО. На двойных числах оказались присутствующими аналоги теоремы и формулы Коши комплексной плоскости, потенциальных и соленоидальных векторных полей, источников, стоков, вихрей, мультиполей и т.п... Даже аналоги алгебраических фракталов в виде множеств Жюлиа и Мандельброта здесь оказались ровно ничем не тривиальней, чем на комплексной плоскости. В общем, все говорит именно за то, что многомерные расширения ТФКП (через расширения ТФДП без отказа от делителей нуля), все же, существуют. Помимо чисто математической значимости, теории подобных расширений имеют большое значение для физики, поскольку прямым путем ведут к построению уже физических теорий обладающих бесконечномерными группами непрерывных симметрий (через связь с h-аналитическими функциями и их еще более мощными обобщениями), что на много более интересно, чем конечномерные группы симметрий пространства Минковского и его псевдоримановых и других расширений.

[Yarkin]

Time в сообщении #296470 писал(а):

Вы можете дать конкретную ссылку?

Все мои темы "По определению..."

Time в сообщении #296470 писал(а):

я то говорил о двойных числах и их коммутативно-ассоциативных расширениях на три, четыре, пять и более измерений. Здесь делители нуля всегда имеются..

Я тоже был в таком заблуждении. Эти делители нуля от нашей математики.

Xaositect в сообщении #296482 писал(а):

я советую Вам не обращать внимания на Яркина.

Не первый полезный совет.

[Time]

Yarkin в сообщении #297429 писал(а):

Все мои темы "По определению..."

Глянул некторые из Ваших постов. К сожалению, впечатление сильно отрицательное. При, в общем-то, работоспособной идее использовать параллельно с алгеброй комплексных чисел алгебру их гиперболических аналогов, которые иногда называют двойными или расщепляемыми числами и которым вместо евклидовой плоскости соответствует псевдоевклидава, Вы занялись таким диким творчеством собственных терминов и понятий, что народ совершенно закономерно мало, что понял. Да и саму идею использовать в дополнение к комплексным числам иные разноводности Чисел Вы сильно подмочили.

На самом деле в отношении данной алгебры многое уже сделано задолго до Вас. Посмотрите, например, книгу Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математические модели":
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=144
Есть достаточно много и других работ, в частности, Кантора и Солодовникова "Гиперкомплексные числа" или Олариу (имеется в arXiv'е) "(Комплексные числа в n измерениях":
http://arxiv.org/abs/math/0011044
Конечно, ни в одной из этих книг нет ответов на все тонкие места алгебры и h-анализа над двойными числами (а тем более в отношении их многомерных расширений), но очень многое там есть и не знать этих моментов - серьезный минус..

А так, с основной идеей, что двойные числа имеют весьма хорошие перспективы как сами, так и через свои более многомерные расширения - я совершенно согласен. Только реализовывать эти перспективы нужно не только и не столько самодеятельными методами, сколько при помощи профессиональных математиков и физиков. Во всяком случае я примерно так и поступаю, привлекая к исследованиям квалифицированных ученых, так как сам также как и Вы не являюсь ни математиком, ни физиком..

[Руст]

Тема интересная, но можно сказать не объятная. Вы заглядывали в сайт Hypercomplex.ru. Там можете почитать журналы "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", книжку Гарасько. Тогда можно дискутировать о чем то более конкретном, что вас интересует.

[Time]

Руст в сообщении #297580 писал(а):

Тема интересная, но можно сказать не объятная. Вы заглядывали в сайт Hypercomplex.ru. Там можете почитать журналы "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", книжку Гарасько. Тогда можно дискутировать о чем то более конкретном, что вас интересует.

Не только заглядывал, я, можно сказать, его и инициировал, равно как и написание книги Григорием Ивановичем и выпуск журнала ГЧГФ. То, что тема необъятная - прекрасно знаю и, не смотря на это, она меня живо интересует. Ну а подискутировать мы могли бы, например, по поводу проблемы, следует ли двойные числа считать Числами, дополняющими известный классификационный ряд: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные? Как Вы себе отвечаете на такой вопрос? При этом, на всякий случай, подчеркну, что сам я двойные числа Числами (именно с большой буквы) считаю на равне с комплексными, а вот кватернионы и октавы - нет.

[Yarkin]

Time в сообщении #297457 писал(а):

Вы занялись таким диким творчеством собственных терминов и понятий

С оценкой согласен.

[Руст]

Тогда, возможно мы знакомы.
На самом деле расхождение начинается уже после рациональных. Т.е.

$$N \subset Z \subset Q$$

а дальше идут замыкания p-адические и замыкание по $p=\infty$, соответствующее действительным числам. Андре Вейль (Теория чисел) под А-числами понимает так же одномерные транцендентные расширения полей Галуа. Т.е. так же в понятии Числа включается коммутативность и размерность.

[Time]

Руст в сообщении #297674 писал(а):

Тогда, возможно мы знакомы.

Да, похоже.. Как Ваши дела? Нормально обустроились?

А на прямой вопрос Вы так и не ответили. Да, между отдельными классами Чисел из перечисленного выше ряда нет единообразных переходов и, все же, это не мешает их все считать математикам фундаментальными числовыми объектами. Вы лично, что думаете по данному поводу в отношении двойных чисел? Что помешало, в свое время, включить их в имеющуюся классификацию Чисел наравне с комплексными? Ведь если б этот шаг был сделан, сейчас вопрос о расширенной теории функций гиперкомплексной переменной уже и не стоял бы..

[Руст]

Нормально, приеду через три недели.

р-адические числа используют и физики. Математики предпочитают рассматривать все замыкания в комплексе, называя их аделями. То, что вы рассматриваете, это только архимедова компонента аделей для числовых полей, представляющие прямую сумму некоторого количества действительных чисел и некоторого количества комплексных чисел, соответственно имеющих делителей нуля, когда количество "точек" (архимедовых нормирований больше 1). Аналогом группы единиц кольца служат идели. В них несколько другая топология, отличающая от индуцированной от аделей. Идели (их архимедова компонента) по сути представляют индикатрису. Как выяснилось при изучении тринглов и метрика на иделях отличается от индуцированной от аделей метрики.
Даже при изучении коммутативных числовых полей с неабелевыми группами Галуа приходится изучать множество всех ассоциативных расширений до тел. На этой базе строится теоритико-числовая К-теория и используется в неабелевой теории полей классов. В этом смысле мне кажется излишне ограничиваться только коммутативными Числами для физики. На мой взгляд, коммутативное сложение в числах соответствует коммутативной группе трансляций, а умножение соответствует группе "Лоренца" с масштабированием. Соответственно умножение не обязательно коммутативное, но ассоциативное.
Что касается книги Григория Ивановича, вы знаете мое мнение. Я бы написал все по новому, в частности надо хорошо осветить вопросы с преобразованием Лежандра и их связь с преобразованиями Фурье и многое другое.
Что касается гиперфункций, такой термин в математике уже существует и он используется для более универсальных "обобщенных" функций, вводимых ни как сопряженное пространство к пространству хороших гладких функций. Вчера написал ответ, но из-за плохого интернета в Америке, все пропала. Посылаю уже несколько другой текст.

[Time]

Руст в сообщении #297989 писал(а):

р-адические числа используют и физики. Математики предпочитают рассматривать все замыкания в комплексе, называя их аделями. То, что вы рассматриваете, это только архимедова компонента аделей для числовых полей, представляющие прямую сумму некоторого количества действительных чисел и некоторого количества комплексных чисел, соответственно имеющих делителей нуля, когда количество "точек" (архимедовых нормирований больше 1). Аналогом группы единиц кольца служат идели. В них несколько другая топология, отличающая от индуцированной от аделей. Идели (их архимедова компонента) по сути представляют индикатрису. Как выяснилось при изучении тринглов и метрика на иделях отличается от индуцированной от аделей метрики.
Даже при изучении коммутативных числовых полей с неабелевыми группами Галуа приходится изучать множество всех ассоциативных расширений до тел. На этой базе строится теоритико-числовая К-теория и используется в неабелевой теории полей классов.

Давайте попробуем на время не трогать тонкие нюансы теории чисел. Я говорил и спрашивал Вас о возможности/невозможности дополнить самые обычные Числа, к которым относят: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные.. Есть или нет основания вставить именно в эту цепочку новые члены? Более того, даже конкретизировал о каком возможном кандидате на такое вставление идет речь - о двойных числах. Причем тут p-адические числа, адели и идели? P-адические числа в указанную классификацию, на сколько мне известно, не входят..

Руст в сообщении #297989 писал(а):

В этом смысле мне кажется излишне ограничиваться только коммутативными Числами для физики.

Может и так.. Вполне допускаю, что не нужно ограничиваться только коммутативно ассоциативными числами. Но разобраться то с ними можно, или нет? Мой вопрос ведь был о другом. Имеются ли основания двойные числа поставить наравне или рядом с комплексными числами в ту самую цепочку классификации Чисел, что считается общепринятой на сегодня?

Руст в сообщении #297989 писал(а):

На мой взгляд, коммутативное сложение в числах соответствует коммутативной группе трансляций, а умножение соответствует группе "Лоренца" с масштабированием. Соответственно умножение не обязательно коммутативное, но ассоциативное.

Вы опять тут пишите совсем не о том, что я спрашивал. Я сейчас говорю лишь про двойные числа. Да, им можно поставить в соответствие двумерное псевдоевклидово пространство-время. Да, сложению на этих числах тогда будут соответствовать коммутативная группа трансляций, а умножению - однопараметрическая подгруппа группы Лоренца (гиперболический поворот) c масштабированием. Причем тут некоммутативность вращений самой группы Лоренца? Кстати в отличие от четырехмерного псевдоевклидова пространства-времени в двумерии эта вторая группа - коммутативная! Как и алгебра двойных чисел.. Давайте не будем пока говорить о четырехмерии. Давайте расставим точки над i в двумерном случае, как с алгеброй, так и с пространством.. Если сумеем разобраться с этим частным случаем, тогда и пойдем дальше.. К трех- и к четырехмерию..

Руст в сообщении #297989 писал(а):

Что касается гиперфункций, такой термин в математике уже существует и он используется для более универсальных "обобщенных" функций, вводимых ни как сопряженное пространство к пространству хороших гладких функций.

Не сомневаюсь, что многие, если не все вещи, из используемых мной с Гарасько, давно известны математикам. Меня на сейчас интересует Ваше мнение исключительно в отношении одной конкртеной алгебры и ее h-аналитических функций. Помимо желания услышать, наконец, прямой ответ по поводу правомочности введения двойных чисел в классификацию наравне с комплексными, меня волнует также Ваш взгляд на h-аналитические функции от них, в контексте ссотнесения с аналогичными обычными аналитическими функциями от комплексных чисел. Почему последние имеют свои многочисленные физические интерпретации и приложения, а в отношении первых ничего подобного не видать?..

[Руст]

Цитата:

Давайте попробуем на время не трогать тонкие нюансы теории чисел. Я говорил и спрашивал Вас о возможности/невозможности дополнить самые обычные Числа, к которым относят: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные.. Есть или нет основания вставить именно в эту цепочку новые члены? Более того, даже конкретизировал о каком возможном кандидате на такое вставление идет речь - о двойных числах. Причем тут p-адические числа, адели и идели? P-адические числа в указанную классификацию, на сколько мне известно, не входят..

Я говорил об аделях и иделях как раз для того, что они там уже существуют и как числа вводятся единым образом. Берете конечные расширение рациональных чисел. Адели этого поля, точнее архимедова часть и есть ваши числа (прямая сумма нескольких $n$ экземпляров комплексных и $m$ экземпляров комплексных чисел). Другого единого ввода я не знаю. Идели (так же архимедова часть) представляют индикатрису.

Цитата:

Может и так.. Вполне допускаю, что не нужно ограничиваться только коммутативно ассоциативными числами. Но разобраться то с ними можно, или нет? Мой вопрос ведь был о другом. Имеются ли основания двойные числа поставить наравне или рядом с комплексными числами в ту самую цепочку классификации Чисел, что считается общепринятой на сегодня?

Согласен. Я говорил только о том, что при разборе на более высоком уровне приходится рассматривать и не коммутативные расширения.

Цитата:

Вы опять тут пишите совсем не о том, что я спрашивал. Я сейчас говорю лишь про двойные числа. Да, им можно поставить в соответствие двумерное псевдоевклидово пространство-время. Да, сложению на этих числах тогда будут соответствовать коммутативная группа трансляций, а умножению - однопараметрическая подгруппа группы Лоренца (гиперболический поворот) c масштабированием. Причем тут некоммутативность вращений самой группы Лоренца? Кстати в отличие от четырехмерного псевдоевклидова пространства-времени в двумерии эта вторая группа - коммутативная! Как и алгебра двойных чисел.. Давайте не будем пока говорить о четырехмерии. Давайте расставим точки над i в двумерном случае, как с алгеброй, так и с пространством.. Если сумеем разобраться с этим частным случаем, тогда и пойдем дальше.. К трех- и к четырехмерию..

Любая двухмерная ассоциативная (даже более слабой ассоциативностью) является коммутативной алгеброй. С точки зрения алгебры этих чисел все они довольно простые объекты (прямые суммы двойных и комплексных) и не представляют интереса.

Цитата:

Меня на сейчас интересует Ваше мнение исключительно в отношении одной конкртеной алгебры и ее h-аналитических функций.

Так называемые h-аналитические функции от двойных чисел к двойным так же не представляют особого интереса ввиду простого разложения двух функций каждой от одной переменной. Соответственно, они не могут представлять физические функции, взаимодействующие с соседними точками с разных направлений (не только по одному направлению).

Цитата:

Почему последние имеют свои многочисленные физические интерпретации и приложения, а в отношении первых ничего подобного не видать?..

Пространственным выражением взаимодействия по направлениям (в стационарных задачах) является удовлетворение уравнению $\lambda f=0$ или обобщений. Поэтому, именно компоненты аналитических функций являются решениями таких двумерных задач. Относительно последних я уже сказал.