Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Yarkin в сообщении #305759 писал(а):

После действительных чисел, должны идти гиперболические, потом комплексные, являющиеся третьей ступенькой.

А куда Вы в таком случае предлагаете поставить тройные, четверные и т.д. гиперболические числа? Они все включают алгебру двойных чисел как подалгебру, и не содержат в себе как подалгебру комплексные числа. Если также между действительными и комплексными, последние окажутся не на третьей, а на бесконечно далекой ступеньке. :)

Yarkin в сообщении #305759 писал(а):

Но математики не заметили, как перешагнули вторую. Исправлять ошибки - самое тяжелое занятие. Тем более, что возведение гиперболических чиел в ранг равноправных связано с отменой понятия арифметического и алгебраического значения корня.

Думаю, дело не в ошибке. Право двойных чисел стоять в одном ряду с действительными и комплексными - доказывать нужно, а не просто декларировать. В частности, необходимы аналоги всех без исключения теорем, что есть в ТФКП. Ну, для примера, Вы можете привести здесь на форуме аналог интегральной формулы Коши для двойных чисел?

Понятие же корня вводится задолго до комплексных чисел. Почему оно должно быть отменено с признанием двойных в качестве Чисел - мне совершенно не понятно.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #305759 писал(а):

После действительных чисел, должны идти гиперболические,

Докажите, что должны!!

[Time]

shwedka в сообщении #306304 писал(а):

Докажите, что должны!!

Не знаю, как Yarkin, но наша небольшая группа уже больше десяти лет сбором именно таких доказательств и занимается. Думаю, что уже практически все готово к строгому обоснованию необходимости того, что бы на самом деле за действительными числами (но не перед комплексными, а почти параллельно им) математики и физики начали в ряд фундаментальных классов Чисел ставить двойные гиперболические. Основной аргумент, по сути дела, тот же, что в свое время (более двухсот лет назад) поставил точку в аналогичных сомнениях математиков на включение самих комплексных чисел в фундаментальный ряд Чисел вслед за действительными. Речь о геометрической интерпретации двойных гиперболических чисел. Если действительным числам соответствует геометрия вещественной прямой, комплексным - геометрия евклидовой плоскости, то двойным гиперболическим числам соответствует геометрия псевдоевклидовой плоскости. Причем это соответствие полностью аналогично паре: комплексные числа-евклидова плоскость. Поэтому не рассматривать двойные гиперболические числа как естественные расширения действительных чисел, все равно, что признавать геометрию евклидовой плоскости в качестве естественного расширения одномерного вещественного пространства, но не признавать в качестве такового псевдоевклидову плоскость. После успехов СТО, такое утверждение выглядело бы, мягко говоря, необоснованным.
Накоплено много и менее веских аргументов, но о них - только в том случае, если у Вас найдутся аргументы парировать приведенный самый главный..

[ewert]

Time в сообщении #306367 писал(а):

Основной аргумент, по сути дела, тот же, что в свое время (более двухсот лет назад) поставил точку в аналогичных сомнениях математиков на включение самих комплексных чисел в фундаментальный ряд Чисел вслед за действительными. Речь о геометрической интерпретации двойных гиперболических чисел.

Основной аргумент для введения комплексных чисел был совсем другим. Никак не геометрическим (кому интересна какая-то там геометрия, когда речь о вычислениях?...). Интересно было только формализовать хоть как-то необходимые формально-алгебраические преобразования.

[BoBuk]

2 Time
За Вами подход Гарасько.

Цитата:

: У Гарасько совсем иной подход к данной проблеме. Он решает квантовомеханическую задачу и ищет ее решения. Если действительно интересно, могу поискать соответствующие его заметки в электронном виде. Кажется он это даже публиковал в нашем журнале..

[Time]

ewert в сообщении #306371 писал(а):

Основной аргумент для введения комплексных чисел был совсем другим. Никак не геометрическим (кому интересна какая-то там геометрия, когда речь о вычислениях?...). Интересно было только формализовать хоть как-то необходимые формально-алгебраические преобразования.

Речь не о появлении и введении в обиход комплексных чисел (они появились задолго до того, как их согласились считать именно Числами и являться естественными расширениями действительных чисел), а о прекращении споров: Числа это или не Числа? Неужели Вы не знакомы с этой историей?

-- Вс апр 04, 2010 20:38:26 --

BoBuk в сообщении #306376 писал(а):

За Вами подход Гарасько.

Кажется, это вот эта статья:

http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=359

[ewert]

Time в сообщении #306377 писал(а):

, а о прекращении споров: Числа это или не Числа? Неужели Вы не знакомы с этой историей?

Не знаком. И не хочу. Это, безусловно, числа -- и точка. Уж много-много лет об этом никто не спорит.

Комплексные числа появились ровно по той же причине, по которой ранее появились рациональные и ещё ранее (логически, но не исторически) отрицательные. Из необходимости хоть как-то формализовывать решения неких уравнений, необходимых для практики. Геометрическая же интерпретация пришла много, много потом -- просто как удобное техническое средство.

"Необычность" же этих чисел лишь в одном -- в их неупорядоченности. Но все давно уж это обстоятельство приняли к сведению и смирились.

[Time]

ewert в сообщении #306382 писал(а):

Не знаком. И не хочу. Это, безусловно, числа -- и точка. Уж много-много лет об этом никто не спорит.

Посмотрите хотя бы классификацию Чисел. Не всевозможных числовых объектов, куда легко входят и кватернионы, и октавы, и антикватерноны, и бикватернионы, и числа Клиффорда, и числа Грассмана, и т.д. и т.п., а именно Чисел. В эту классификацию обычно включают только: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные. Все, кватернионы и иже с ними сюда не входят. С этим я совершенно согласен. Однако, полагаю, Вы не приведете ни одной ссылки, в которой прямо говорится, что двойные числа в эту классификацию входят. А должны..
Ну а то, что комплексные числа - Числа, действительно давно никто не спорит. И я выше привел - с каких пор и после какого события. Речь не о комплексных, они давно отстояли свое законное право быть в ряду фундаментальных классов Чисел. Речь о двойных, которые упорно к Числам относить не желают. И зря..

[Maslov]

(Оффтоп)

Объясните, пожалуйста, кто-нибудь: почему настолько важно, признается какой-то математический объект Числом (с большой буквы) или не признается? И кто такие эти самые Числа, и почему с большой буквы? Это какой-то специальный класс объектов?

[Виктор Ширшов]

Time в сообщении #306367 писал(а):

Не знаю, как Yarkin, но наша небольшая группа уже больше десяти лет сбором именно таких доказательств и занимается. Думаю, что уже практически все готово к строгому обоснованию необходимости того, что бы на самом деле за действительными числами (но не перед комплексными, а почти параллельно им) математики и физики начали в ряд фундаментальных классов Чисел ставить двойные гиперболические.

Надо написать в АН РФ, чтобы Вас разогнали.

[Time]

Maslov в сообщении #306395 писал(а):

Объясните, пожалуйста, кто-нибудь: почему настолько важно, признается какой-то математический объект Числом (с большой буквы) или не признается? И кто такие эти самые Числа, и почему с большой буквы? Это какой-то специальный класс объектов?

Гляньте, например:
http://pusk.by/bse/150404/%D0%A7%D0%B8% ... 0%BB%D0%BE

А важен вопрос, относить или нет те или иные числовые объекты к Числам, не столько для математики, сколько для геометрии и физики.
Если, как практически все современные математики и считают, эволюция понятия Числа заканчивается на комплексных, то для физики это означает, что прямое, красивое и естественное единство алгебр, геометрий и их физических приложений заканчивается на комплексных числах с их аналитическими функциями, евклидовой плоскости с ее конформной группой преобразований и идеальных двумерных потенциальных и соленоидальных физических полях. По этому вопросу можно глянуть книгу Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математические модели":
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=144
в которой, после замечательных примеров прямых прикладных возможностей в двумерной стационарной физике комплексных чисел и их аналитических функций, именно на утверждении об окончании на последних классификации Чисел констатируется отсутствие аналогичных связей для многомерных физических моделей.
Если предположить, что кроме комплексных чисел в классификацию Чисел входят еще и двойные, это означает, что для прямых связей алгебры, геометрии и физики не только в двумерных задачах, но и в многомерных случаях еще не все надежды потеряны.
В частности, включение в фундаментальный ряд Чисел рядом с комплексными еще и их гиперболических аналогов (двойных чисел), почти автоматически означает не только связь с геометрией двумерного пространства-времени (по аналогии связи комплексных чисел с двумерным евклидовым пространством), но и существование аналогичных тесных переплетений алгебры и анализа над этими числами с физическими явлениями в двумерном пространстве-времени. Но важно даже не столько это. Допуская двойные числа с их делителями нуля в классификацию Чисел, туда же практически на автомате попадают уже и многомерные гиперкомплексные числа, являющиеся прямыми суммами действительных и комплексных алгебр, в которых также в обязательном порядке имеются делители нуля. За такими алгебрами стоят уже геометрии не евклидовых или псевдоевклидовых пространств, а особого вида линейные финслеровы пространства. Но важно снова не это. Важен следующий вопрос - стоит ли за этими необычными пространствами физика реальных многомерных явлений? Если эти многомерные гиперкомплексные числа - Числа, то и стоящие за ними геометрия с физикой весьма вероятно могут оказаться в теснейшей связи с реальностью. Так что, вопрос классификации Чисел и что в них входит - совсем не абстрактный и далеко не праздный..

-- Вс апр 04, 2010 21:47:41 --

Виктор Ширшов в сообщении #306399 писал(а):

Надо написать в АН РФ, чтобы Вас разогнали.

Пишите.

[Maslov]

Time в сообщении #306405 писал(а):

Гляньте, например:
http://pusk.by/bse/150404/%D0%A7%D0%B8% ... 0%BB%D0%BE

За энциклопедию спасибо. Это Вы поэтому слово "число" с большой буквы пишете? Так в энциклопедии и "цифра" -- тоже с большой.

Time в сообщении #306405 писал(а):

Если, как практически все современные математики и считают, эволюция понятия Числа заканчивается на комплексных числах

Да не волнует математиков "эволюцию понятия Числа". Есть естественное расширение поля $\mathbb R$ до поля $\mathbb C$, а дальнейшего расширения поля $\mathbb C$ уже нет, вот и все.

Непонятно другое: каким образом можно доказать, что что-то является "числом", когда определение числа отсутствует. И кому Вы это пытаетесь доказать? А как узнаете, что доказали? Хотя, конечно, есть довольно простой способ: построить ТФДГП (теорию функций двойного гиперболического переменного), сравнимую с ТФКП по классу решаемых задач и приложений в других областях математики, физики и т.п. Есть, правда, еще один способ: подредактировать немного Википедию :)

Когда читаешь Ваши посты, возникает ощущение, что стоит преодолеть административные барьеры в среде косного математического чиновничества и добиться, наконец, присвоения двойным гиперболическим числам гордого звания Числа, как тут же огромное количество проблема современной математики и физики будет автоматически решено.
Решите проблемы, и больше доказывать ничего не придется.

[Time]

Maslov в сообщении #306432 писал(а):

За энциклопедию спасибо. Это Вы поэтому слово "число" с большой буквы пишете? Так в энциклопедии и "цифра" -- тоже с большой.

Нет, не потому. Пишу с большой буквы, что бы отличать объекты фундаментального ряда Чисел от тех, что также традиционна носят названия чисел, но к фундаментальным относиться не могут.

Maslov в сообщении #306432 писал(а):

Да не волнует математиков "эволюцию понятия Числа". Есть естественное расширение поля до поля , а дальнейшего расширения поля уже нет, вот и все.

На счет поля - согласен. Полей дальше комплексных и тех, что уже есть среди Чисел (там, кстати, также не все классы являются полями, например, натуральные и целые) - нет. Двойные числа и их дальнейшие расширения являются коммутативными кольцами. Но речь ведь не об этом.

Maslov в сообщении #306432 писал(а):

Непонятно другое: каким образом можно доказать, что что-то является "числом", когда определение числа отсутствует.

Ну почему отсутствует. Есть ряд аксиом, которым удовлетворяют все представители классов, что я обычно относят к Числам. На вскидку: коммутативность и ассоциативность сложения, наличие нуля, коммутативность и ассоциативность умножения, наличие единицы, наличие обратных по сложению, наличие обратных по умножению у всех Чисел кроме нуля и дистрибутивность. Вроде все. Двойные числа удовлетворяют всем этим аксиомам, кроме предпоследней. У них кроме нуля нет обратных еще и у делителей нуля. Но там, где одно исключение уже есть, можно найти место уже и для правила..

Maslov в сообщении #306432 писал(а):

И кому Вы это пытаетесь доказать? А как узнаете, что доказали? Хотя, конечно, есть довольно простой способ: построить ТФДГП (теорию функций двойного гиперболического переменного), сравнимую с ТФКП по классу решаемых задач и приложений в других областях математики, физики и т.п.

Совершенно с Вами согласен и именно такое доказательство я имел ввиду, среди прочих. И теорию функций двойной переменной вполне удается построить, и приспособить ее к решению вполне определенного класса геометрических и физических задач в пространственно-временном двумерии, причем в полной аналогии с ТФКП и ее приложениями к физическим и геометрическим задачам в евклидовом двумерии. И не только это. Удается даже нетривиальные гиперболические аналоги фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной построить, причем ничуть не более простые, чем на комплексной плоскости.. Ну а уж комплексное расширение двойных чисел до алгебры H_2(C), так то в отличие от H_2(R) еще и алгебраически замкнутым оказывается и в нем появляется места для обобщения основной теоремы алгебры.

Maslov в сообщении #306432 писал(а):

Когда читаешь Ваши посты, возникает ощущение, что стоит преодолеть административные барьеры в среде косного математического чиновничества и добиться, наконец, присвоения двойным гиперболическим числам гордого звания Числа, как тут же огромное количество проблема современной математики и физики будет автоматически решено.
Решите проблемы, и больше доказывать ничего не придется.

Вы неверно истолковали мои мотивы таких выступлений здесь и на анлогичных площадках. Я не за декларативное включение двойных чисел в список Чисел, а примерно за то, что Вы выше сами сказали. А тут я всего лишь ищу тех, с кем можно было бы подобные работы проводить совместно. Человек тридцать за несколько лет набралось, но не помешает еще десяток..

[Maslov]

Time в сообщении #306439 писал(а):

Есть ряд аксиом, которым удовлетворяют все представители классов, что я обычно относят к Числам. На вскидку: коммутативность и ассоциативность сложения, наличие нуля, коммутативность и ассоциативность умножения, наличие единицы, наличие обратных по сложению, наличие обратных по умножению у всех Чисел кроме нуля и дистрибутивность. Вроде все.

Такое множество с двумя операциями называется полем. Однако ни множество натуральных, ни множество целых чисел полями не являются. Что ж они, не Числа в Вашем понимании? И есть огромное количество полей, не имеющих к числам никакого отношения.
Так что критерий "Численности" по-прежнему размыт :)

Time в сообщении #306439 писал(а):

Вы неверно истолковали мои мотивы таких выступлений здесь и на анлогичных площадках. Я не за декларативное включение двойных чисел в список Чисел

Да я не о мотивах, я, скорее, о стиле. Здесь народ скорее заинтересуется конкретными математическими проблемами, чем отдаленной перспективой всеобщего счастья.

[Time]

Maslov в сообщении #306442 писал(а):

Такое множество с двумя операциями называется полем. Однако ни множество натуральных, ни множество целых чисел полями не являются. Что ж они, не Числа в Вашем понимании? И есть огромное количество полей, не имеющих к числам никакого отношения.
Так что критерий "Численности" по-прежнему размыт :)

Да, не хорошо получается. Но, похоже, не у меня первого такая оплошность. Лет десять назад у Арнольда (отца) в его "Арифметике" я вычитал следующие аксиомы понятия Числа (специально выписал), куда он включал весь ряд: натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные:
1. Для любых Чисел m и n
m+n=n+m и mn=nm.
2. Для любых Чисел m, n и k
(m+n)+k=m+(n+k) и (mn)k=m(nk).
3. Для любых Чисел m, n и k
m(n+k)=mn+mk.
4. Существует Число 0, такое, что для любого Числа n
n+0=n.
5. Существует Число 1, такое, что для любого Числа n
n1=n.
6. Для любого Числа n существует другое Число k, такое, что
n+k=0.
7. Для любого Числа k не равного нулю, существует другое Число n, такое, что
nk=1.

Согласно такому набору аксиом действительно получается, что натуральные и целые числа - не Числа. К сожалению отдал кому-то ту книгу почитать и не могу проверить, контекст применения именно этого набора аксиом. Возможно, они действительно относились к числовым полям, хотя и маловероятно. При случае уточню. Впрочем, для обсуждаемого вопроса места двойных чисел среди действительных и комплексных это и не суть важно.
А суть в том, что для включения двойных чисел в ряд Чисел необходимо немного видоизменить последнюю аксиому и взять следующую:

7'. Для любого Числа k не равного нулю или делителю нуля, существует другое Число n, такое, что
nk=1.

Меня мало волнует, что это уже будет не набор аксиом числового поля. Главное, что под этот новый набор станут подпадать двойные числа и другие коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры. Как известно, похожее изменение одной акиомы, в свое время, вывело на признание неевклидовой геометрии. Если сейчас примерно тоже самое получится с признанием двойных чисел (и других коммутативно-ассоциативных гиперчисел) - этого достаточно.

Maslov в сообщении #306442 писал(а):

Да я не о мотивах, я, скорее, о стиле. Здесь народ скорее заинтересуется конкретными математическими проблемами, чем отдаленной перспективой всеобщего счастья.

Считаете, что такому стилю здесь не место?
Ну, а то, что народ очень трудно заинтересовать озвучиваемыми мною вопросами - мне прекрасно известно. На вскидку, таких менее, чем один на сотню и это из тех, кто хотя бы отдаленно понял, о чем, собственно, речь. Я ж не в претензии. Вот и c Вами.. Не интересно - и ладно. Я ж никого силком не заставляю.
Кстати, причем тут "перспективы всеобщего счастья". Вы в чем их разглядели и кто такое обещал?