Уникальные свойства чисел

[Dialectic]

AGu в сообщении #296365 писал(а):

Dialectic в сообщении #296324 писал(а):

Это красиво.

Ага, симпатичный стёб.

Dialectic в сообщении #296324 писал(а):

Как теперь доказать, что каждое число обладает бесконечным количеством уникальных свойств?

Включаясь в стёб, замечу, что все уникальные свойства фиксированного числа попарно эквивалентны, так как если $\varphi$ и $\psi$ — уникальные свойства числа $n$, то для любого $m$ мы имеем $\varphi(m)\Leftrightarrow(m=n)\Leftrightarrow\psi(m)$. Стало быть, «логически различных» уникальных свойств у одного и того же числа не бывает. Ну а «синтаксически различных» — действительно бесконечно много: если $\varphi$ — уникальное свойство какого-либо числа, то, например, $\varphi\,\&\,\varphi\,\&\,\cdots\,\&\,\varphi$ — тоже уникальное свойство этого же числа.

Не очень понял логики ( Вы извините, я ж не спец как Вы) Не могли бы вы пояснить, что такое $\varphi(m)$

[AGu]

Dialectic в сообщении #296419 писал(а):

AGu в сообщении #296365 писал(а):

Включаясь в стёб, замечу, что все уникальные свойства фиксированного числа попарно эквивалентны, так как если $\varphi$ и $\psi$ — уникальные свойства числа $n$, то для любого $m$ мы имеем $\varphi(m)\Leftrightarrow(m=n)\Leftrightarrow\psi(m)$. Стало быть, «логически различных» уникальных свойств у одного и того же числа не бывает.

Не могли бы вы пояснить, что такое $\varphi(m)$

Запись $\varphi(m)$ — это синоним утверждения «$m$ обладает свойством $\varphi$». Если $\varphi$ — уникальное свойство числа $n$, то $n$ — единственное число, обладающее свойством $\varphi$, а значит, для любого числа $m$ утверждение «$m$ обладает свойством $\varphi$» равносильно равенству $m=n$. Если теперь $\psi$ — какое-либо другое уникальное свойство числа $n$, то все то же самое: $n$ — единственное число, обладающее свойством $\psi$, а значит, для любого числа $m$ утверждение «$m$ обладает свойством $\psi$» равносильно равенству $m=n$. Таким образом, для любого числа $m$ утверждение «$m$ обладает свойством $\varphi$» равносильно утверждению «$m$ обладает свойством $\psi$». Вывод: любые два уникальных свойства числа $n$ равносильны друг другу, т.е. логически друг от друга не отличаются.

[Профессор Снэйп]

Dialectic в сообщении #278935 писал(а):

именно: оно является единственным чётным простым числом.

Число $2$ является простым числом, делящимся на $2$. Гениально, Ватсон!

-- Вт мар 16, 2010 16:52:30 --

Кстати, это не уникальное свойство. Число $-2$ тоже ему удовлетворяет.

Вообще, задача становится более-менее интересной, если мы начинаем уточнять язык, используемый для записи свойств, и множество, из которого свойство выделяет число.

К примеру, число $2$ выделяется на $\langle \mathbb{N}, < \rangle$ свойством

$$ \varphi(x) = \exists y \exists z (z < y < x \mathop{\&} \forall t (t < x \rightarrow t = y \vee t = z)), $$

но не выделяется этим свойством на $\langle \mathbb{R}, < \rangle$. Зато на $\langle \mathbb{R}, +, \cdot \rangle$ число $2$ выделяется свойством $\psi(x) = \forall y(x \cdot y = y + y)$. А вот на $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ ни одно число, кроме нуля, никаким свойством не выделяется, поскольку у модели есть нетривиальный автоморфизм.

[Legioner93]

Dialectic в сообщении #278950 писал(а):

Вот например, число 26 обладает тем свойством, что является единственным числом, которое располагается между кубом и квадратом. Вот это свойство - однозначно идентифицирует нам это число. Фактически, мы могли бы вместо слов "двадцать шесть" сказать "то, число которое расположено между кубом и квадратом".

Неверно, таким свойством обладает также число 0.

[Garik2]

Legioner93 в сообщении #305362 писал(а):

Вот например, число 26 обладает тем свойством, что является единственным числом, которое располагается между кубом и квадратом. Вот это свойство - однозначно идентифицирует нам это число. Фактически, мы могли бы вместо слов "двадцать шесть" сказать "то, число которое расположено между кубом и квадратом".

Если следовать подобному, то любое число из натурального ряда является уникальным. Кстати, Рамануджана такого взгляда и придерживался: в любом номере автомобиля он видел уникальное значение.