Доказательство проблемы Ферма для n > x не Грюнерта

[ananova]

Приветствую!

Как и обещал ранее, открываю тему, чтобы показать легкое доказательство частного случая проблемы Ферма. Заранее признателен за комментарии и обнаруженные "дырки" в доказательстве.

Someone в сообщении #161277 писал(а):

ananova писал:
Кстати, у Вас есть ссылочка на следующий факт:
Someone в сообщении #160487 писал(а):
известно, что каждое из чисел $A$, $B$, $C$ должно быть больше $n$).

Поскольку я сам доказал этот частный случай, мне очень интересно, каким путем он у Вас доказывается (киньте ссылочку если есть).

Это теорема Грюнерта, доказанная в 1856 году (М.М.Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. "Наука", Москва, 1982).

Но Вы писали, что числа должны быть больше $2n$. Это сильнее, чем теорема Грюнерта, и если бы теорема Ферма не была уже доказана, то, вероятно, был бы новый результат (впрочем, я не в курсе событий в этой области, и гарантий дать не могу). Но элементарное доказательство может представлять интерес и сейчас.

ananova в сообщении #161458 писал(а):

Я посмотрел доказательство этой теоремы. Оно отличается от моего доказательства. Поэтому постараюсь подготовить его на Ваш суд в новой теме как только появится чуть больше свободного времени.

У меня появилось немножко времени на то, чтобы показать свое решение этой проблемы с более сильным результатом.

Приступим:

общеизвестные факты:

Someone в сообщении #160681 писал(а):

При доказательстве теоремы Ферма достаточно ограничиться случаем простого $n>2$ (и $n=4$, но этот случай здесь не рассматриваем, так как его элементарное доказательство было известно ещё самому Ферма).

Малая теорема Ферма:

$A \equiv A^n$ по модулю $n$,

$n$ - в этом доказательстве будет всегда считать простым.

Для тройки чисел Ферма $(X,Y,Z): X+Y>Z$ следует, что: $X > Z-Y$

Доказательство:

При наличии гипотетического решения:

$X^n + Y^n = Z^n$, следует и сравнимость по модулю $n$: $X^n + Y^n \equiv Z^n ($mod $n)$

Разберем последнее сравнение для любого простого числа $n, n > X$. Возведем в степень $n$ каждое из чисел проблемы Ферма по модулю $n$.

$(X^n \equiv X$ $ mod$ $n) + (Y^n \equiv Y mod$ $n) \equiv (Z^n \equiv Z mod$ $n)$

Cогласно малой теореме Ферма, мы не получаем сравнимости левой и правой части, а получаем подтверждение справедливости ВТФ, т.к. абсолютное значение $n > X$:

$(X^n \equiv X $ $mod$ $ n) > [(Z^n \equiv Z$ $mod$ $n) - (Y^n \equiv Y$ $ mod$ $n)]$

что эквивалентно сравнениям:

$X^n > ( Z^n - Y^n)$ и $X > ( Z - Y)$ по модулю $n$

Согласно малой теореме Ферма.

Доказано.

Надо признать, что доказательство первоначально было сделано для $n>(X+Y)$, т.к. с помощью малой теоремы Ферма легко показать несправедливость следующего сравнения:

$X^n + Y^n \equiv Z^n ($mod $n)$

Так как в абcолютных значения $X+Y>Z$.

Если вышеприведенное доказательство оставит у Вас сомнения, то для $n>(X+Y)$ их у Вас вообще-то не должно быть.


Усилим результат, когда ВТФ справедлива и для ряда значений $n$, когда $X>n$

Воспользуемся теоремой Эйлера. (На самом деле, малая теорема Ферма, является следствием теоремы Эйлера.)

Если подобрать в качестве модуля составное число $r >X$, такое что: [функция Эйлера ($r$)$ + 1] = n$ и $n$ будет простым числом, то и для этой пары (r,n) тоже будет справедлива теорема Ферма, когда $X>n$ и $X<r$.

Например, для модуля $r=3*19=57$, $n=(3-1)(19-1)+1=37$.

В данном примере $n=37$ и теорема Ферма справедлива для любого $X<57$, т.к. можно показать что:

$X^3^7 > ( Z^3^7 - Y^3^7)$ и $X > ( Z - Y)$ по модулю $(r=57)$

Пожалуй, этот результат будет посильнее, чем у Грюнера.

К сожалению, времени у меня не так много, что заходить на форум, но постараюсь не пропадать.

PS:Если ничего "крамольного" здесь найдено не будет, то можно показать, что числа $X$ и $Y$ и $Z$ должны иметь функцию Эйлера, которая не делится на $n$, а так как функция Эйлера всегда четная, то теорема Ферма справедлива для огромного количества троек для любых $n$, но с минимальным порогом $n<X/2$

[Nilenbert]

Если не ошибаюсь, на это счёт была маленькая заметка в Кванте (№2 1991, доступна в интернете тут Страшевич С., Бровкин Е., Малая и Большая теоремы Ферма.
Там показано, что если $p$ - простое, $p>3$, и $x^p+y^p=z^p$, для некоторых натуральных $x,y,z$, то $x>6p$

[ananova]

Nilenbert в сообщении #162296 писал(а):

на это счёт была маленькая заметка в Кванте

Спасиб, за ссылку, но я не уверен, что у автора заметки корректен переход от $X+Y-Z = X^p^-^1 + Y^p^-^1 - Z^p^-^1$ к выражению со степенями $p$, но контрдоводов пока нет. А для четных степеней сомнений нет.

[ananova]

(Оффтоп)

не тут ответил

[shwedka]

ananova в сообщении #162262 писал(а):

$X > ( Z - Y)$ по модулю $(r=57)$

Из неравенства $X^3^7 > ( Z^3^7 - Y^3^7)$
НЕ СЛЕДУЕТ неравенство остатков
$X > ( Z - Y)$ по модулю $(r=57)$ .

если утверждаете, что следует, доказывайте!

[Гаджимурат]

ananova в сообщении #162262 писал(а):

Для тройки чисел Ферма следует, что:$X>Z-Y$

Сомнений нет. А так же $Y>Z-X$.Это наглядно и без доказательства видим из формул:
$Z-Y=b^n$, $Z-X=a^n$,здесь приняли,что $Z$ делится на $n$.
$X=abcm+b^n$ и $X>b^n$
$Y=abcm+a^n$ и $Y>a^n$.

[ananova]

shwedka в сообщении #295873 писал(а):

если утверждаете, что следует, доказывайте!

Мои поздравления с 8 Марта!!!

(Оффтоп)

Этот результат в этом месяце публикуют в одном из журналов с доказательством, которое Вы попросите. Так что, когда опубликуют, - я приведу его здесь.

К тому же, мне не дает покоя новый интересный результат по ВТФ, который требует времени на чёткое изложение. Я хотел бы его проверить здесь на Форуме тщательно изложив всё и попросив Вашей помощи... Для тщательного изложения требуется время. Правда вот вчера пошёл с ребятами в боулинг и загадал, что если будет страйк, то моя идея даст полное решение ВТФ Шар очень точно набегал на кегли, вращался точно по направлению. Я был почти уверен, что они рухнут, но повалились все кроме одной. Причем одна сильно закачалась, но устояла. Так что вот такая гипотеза - надеюсь сильно потрясёт ВТФ, а потом ВТФ устоит Хотя следующий мой заход завершился страйком , но в него я уже не вкладывал никакой 'мечты'.

[shwedka]

ananova в сообщении #295911 писал(а):

Этот результат в этом месяце публикуют в одном из журналов с доказательством, которое Вы попросите. Так что, когда опубликуют, - я приведу его здесь.

И за каким журналом следить??

[ananova]

shwedka в сообщении #296140 писал(а):

И за каким журналом следить??

Потом в личку брошу в апреле - просто проба пера