2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 22:20 


08/05/08
954
MSK
Встретил такую задачу:
На плоскасти в точках с натуральными координатами сидят зайцы диаметром $0,001$. В начале координат стоит охотник с ружьем, стреляющим бесконечно далеко. Докажите, что под каким бы углом $\alpha$ $\in$ $(0^ \circ , 90^\circ)$ к оси абсцисс он ни выстрелил, он попадет в зайца ( т.е пуля пройдет мимо центра одного из зайцев на расстоянии, меньшем радиуса зайца).

Итак зайцы:
$(x-a_{i})^2+ (y-b_{j})^2=r^2$ (1), где $r=0,0005$
$a_{i}=1,2,3...$, $b_{j}=1,2,3...$

Пуля:
$y=kx=tg \alpha x$ (2)
Нужно показать, что найдутся такие $a_{i}$ и $b_{j}$, что указанная прямая (2) пересечет какую-нибудь окружность (1) - система уравнений будет иметь решение.

Дальше на оси абсцисс отмечаем область $a_i \pm r$, на оси ординат $b_j \pm r$, и вот дальше с доказательством задумался..

 Профиль  
                  
 
 Re: Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Сводится к утверждению, что у любого числа найдётся рациональное приближение $p\over q$ с точностью в пределах $0.0005\over q$. Подходящие дроби нам это могут обеспечить с огромным запасом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 22:34 


08/05/08
954
MSK
ИСН в сообщении #295711 писал(а):
Сводится к утверждению, что у любого числа найдётся рациональное приближение $p\over q$ с точностью в пределах $0.0005\over q$.

Задача из раздела: Действительные числа. Пределы последовательностей.
Утверждение для меня неочевидно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
А сводимость задачи к нему - очевидна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 23:38 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Докажем, что для любого (иррационального) $a$ и любого $\varepsilon>0$ найдутся такие целые $p$ и $q$, что $|pa-q|<\varepsilon$ (кажется, это называется теоремой Кронекера).
Не ограничивая общности, считаем $a>0$. Рассмотрим последовательность дробных частей $x_m=\{ma\}$. Так как $x_m\in[0,1)$, то существует $x\in[0,1]$: $x_m\to x$. Выберем из ${x_m} $ монотонную подпоследовательность, сохранив обозначение. Выберем теперь номера $k_l$ так, чтобы $p_l=m_{k_{l+1}}-m_{k_l}\to+\infty$, тогда $\{x_{p_l}\}$ сходится к $0$ или $1$, в зависимости от направления монотонности. В первом случае положим $p=p_l, q=\{pa\}$, во втором - $p=p_l, q=\{pa\}+1$ при достаточно большом $l$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про зайцев...
Сообщение07.03.2010, 23:48 


08/05/08
954
MSK
Нет, не очевидна.
решил рассмотреть:
1) $tg \alpha = \frac{b_j} {a_i}$ и
2) $\frac {b_j \pm r} {a_i \pm r}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group