Про зайцев...

[e7e5]

Встретил такую задачу:
На плоскасти в точках с натуральными координатами сидят зайцы диаметром $0,001$. В начале координат стоит охотник с ружьем, стреляющим бесконечно далеко. Докажите, что под каким бы углом $\alpha$ $\in$ $(0^ \circ , 90^\circ)$ к оси абсцисс он ни выстрелил, он попадет в зайца ( т.е пуля пройдет мимо центра одного из зайцев на расстоянии, меньшем радиуса зайца).

Итак зайцы:
$(x-a_{i})^2+ (y-b_{j})^2=r^2$ (1), где $r=0,0005$
$a_{i}=1,2,3...$, $b_{j}=1,2,3...$

Пуля:
$y=kx=tg \alpha x$ (2)
Нужно показать, что найдутся такие $a_{i}$ и $b_{j}$, что указанная прямая (2) пересечет какую-нибудь окружность (1) - система уравнений будет иметь решение.

Дальше на оси абсцисс отмечаем область $a_i \pm r$, на оси ординат $b_j \pm r$, и вот дальше с доказательством задумался..

[ИСН]

Сводится к утверждению, что у любого числа найдётся рациональное приближение $p\over q$ с точностью в пределах $0.0005\over q$. Подходящие дроби нам это могут обеспечить с огромным запасом.

[e7e5]

ИСН в сообщении #295711 писал(а):

Сводится к утверждению, что у любого числа найдётся рациональное приближение $p\over q$ с точностью в пределах $0.0005\over q$.

Задача из раздела: Действительные числа. Пределы последовательностей.
Утверждение для меня неочевидно...

[ИСН]

А сводимость задачи к нему - очевидна?

[Полосин]

Докажем, что для любого (иррационального) $a$ и любого $\varepsilon>0$ найдутся такие целые $p$ и $q$, что $|pa-q|<\varepsilon$ (кажется, это называется теоремой Кронекера).
Не ограничивая общности, считаем $a>0$. Рассмотрим последовательность дробных частей $x_m=\{ma\}$. Так как $x_m\in[0,1)$, то существует $x\in[0,1]$: $x_m\to x$. Выберем из ${x_m} $ монотонную подпоследовательность, сохранив обозначение. Выберем теперь номера $k_l$ так, чтобы $p_l=m_{k_{l+1}}-m_{k_l}\to+\infty$, тогда $\{x_{p_l}\}$ сходится к $0$ или $1$, в зависимости от направления монотонности. В первом случае положим $p=p_l, q=\{pa\}$, во втором - $p=p_l, q=\{pa\}+1$ при достаточно большом $l$.

[e7e5]

Нет, не очевидна.
решил рассмотреть:
1) $tg \alpha = \frac{b_j} {a_i}$ и
2) $\frac {b_j \pm r} {a_i \pm r}$