Встретил такую задачу:
На плоскасти в точках с натуральными координатами сидят зайцы диаметром
![$0,001$ $0,001$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/8/f58f09479fd2c3527de5b5c1fdd81ab582.png)
. В начале координат стоит охотник с ружьем, стреляющим бесконечно далеко. Докажите, что под каким бы углом
![$(0^ \circ , 90^\circ)$ $(0^ \circ , 90^\circ)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/4/9446e5c9608fdbc797589e375dc7714482.png)
к оси абсцисс он ни выстрелил, он попадет в зайца ( т.е пуля пройдет мимо центра одного из зайцев на расстоянии, меньшем радиуса зайца).
Итак зайцы:
![$(x-a_{i})^2+ (y-b_{j})^2=r^2$ $(x-a_{i})^2+ (y-b_{j})^2=r^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/7/75761b492ab01b4b8aae9e61953983e982.png)
(1), где
![$r=0,0005$ $r=0,0005$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eece6dc410f1c23712ed9cbaa6b1bdb782.png)
![$a_{i}=1,2,3...$ $a_{i}=1,2,3...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/7/1879c1320de0db08cb75b0aa461ab9b682.png)
,
![$b_{j}=1,2,3...$ $b_{j}=1,2,3...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/b/95bbaa577314ac982d73b0b0e833f1b082.png)
Пуля:
![$y=kx=tg \alpha x$ $y=kx=tg \alpha x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40cb33b626821f322ab57c1203fba6e982.png)
(2)
Нужно показать, что найдутся такие
![$a_{i}$ $a_{i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/a/0aae089ed20772138e327117bd8c6bac82.png)
и
![$b_{j}$ $b_{j}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/2/f32fd54330a999d797b4651a30345b5d82.png)
, что указанная прямая (2) пересечет какую-нибудь окружность (1) - система уравнений будет иметь решение.
Дальше на оси абсцисс отмечаем область
![$a_i \pm r$ $a_i \pm r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e8427fc967cc1fb6b613926e547f41bd82.png)
, на оси ординат
![$b_j \pm r$ $b_j \pm r$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/1/d317e444391970bc3fe157d2de7298da82.png)
, и вот дальше с доказательством задумался..