гипотеза о PDE

[terminator-II]

Gafield в сообщении #293920 писал(а):

Смотря где. Я тут повозился, все упрощается. Решениями будут функции

$$u(z,t)=\frac{e^{-\frac{(1-z)^2}{4 t}}}{2 \sqrt{t}} \int_c^{\frac{(1-z)^2}{4 t}}y^{-1/2} e^y \, dy,$$

где $c$ любое число.

т.е. что при заданном начальном условии решение не единтсвенно?
и еще хотелось бы понять как вот это:

Gafield в сообщении #293920 писал(а):

Если сделать линейную замену, чтобы

$$u(z,t)=\frac{e^{-\frac{z^2}{4 t}}}{2 \sqrt{t}} \int_c^{\frac{z^2}{4 t}}y^{-1/2} e^y \, dy,$$

то аналитичность по $z$ вплоть до $t=+0$ будет при $\Re z^2>0$ и до $t=-0$ при $\Re z^2<0$. Как и для фундаментального решения, впрочем, если доопределить его при $t<0$ той же формулой, что и при $t>0$.

противоречит моему утверждению о том, что решений нет в $C([0,T],H_r)$?

[Gafield]

terminator-II в сообщении #294429 писал(а):

т.е. что при заданном начальном условии решение не единтсвенно?

Локально да. Если обозначить через $Z(x,t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-x^2/4t}$ фундаментальное уравнение теплопроводности, а через $F(z)$ первообразную для $z^{-1/2}e^z$, то решение $u(z,t)=\sqrt\pi Z(1-z,t)(F\left(\frac{(1-z)^2}{4t}\right)+C)$ определяется с точностью до слагаемого $CZ(1-z,t)$, которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, а также нулевому начальному условию в окрестности $z=0$ при $t\to+0$.

Цитата:

и еще хотелось бы понять как вот это:

Gafield в сообщении #293920 писал(а):

Если сделать линейную замену, чтобы

$$u(z,t)=\frac{e^{-\frac{z^2}{4 t}}}{2 \sqrt{t}} \int_c^{\frac{z^2}{4 t}}y^{-1/2} e^y \, dy,$$

то аналитичность по $z$ вплоть до $t=+0$ будет при $\Re z^2>0$ и до $t=-0$ при $\Re z^2<0$. Как и для фундаментального решения, впрочем, если доопределить его при $t<0$ той же формулой, что и при $t>0$.

противоречит моему утверждению о том, что решений нет в $C([0,T],H_r)$?

Не знаю. Какому утверждениию? Тут речь идет о примере Ковалевской после линейной замены:$u_t=u_{zz}$, $u|_{t=0}=z^{-1}$.

[terminator-II]

Видите ли, в чем дело, до того как Вы тут появились, мы обсуждали совершенно конкретные вопросы:

terminator-II в сообщении #292656 писал(а):

1) Пример Ковалевской.
Задача

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет аналитических решений в области $\{|t|<c_1\}\times\{|z|<c_2\}$ при любых $c_1,c_2>0$.

2) Совсем очевидно. Задача

$$u_t=z^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет решений в $C([0,T],H_r)$.

Ну и выше еще кое-что.
У Вас по пункту 2) возражения есть?