Пределы последовательностей (вопросы на понимание)

[Bobris]

Здравствуйте! Сейчас изучаю пределы, тема для меня новая. Не могли бы вы мне немного помочь? Задача: известно, что последовательность {xn} стремится к нулю.
Могут ли в этой последовательности быть члены, большие 1000000?
Могут ли все члены быть отрицательными?
Могут ли все члены последовательности быть больше 0,000001?
В первом случае, по-моему, это возможно, тогда последовательность будет резко уменьшаться (или просто уменьшаться). Например, последовательность 10000000/n, 1/n и т.п..
Во втором случае тоже возможно, это будет любая неубывающая последовательность.
В третьем случае, по всей видимости, это невозможно, т.к. последовательность будет становиться все меньше и меньше, бесконечно приближаясь к нулю.
Но вопрос, как все это доказать? Вы не могли бы меня натолкнуть на мысль? Никак не доходит.((
Заранее благодарен.

[Руст]

Ответы вы и сами знаете, только ваши рассуждения для их обоснования никудышные.
1) не обязано убывать, после этого (даже по модулю).
2) так же последовательность не обязана быть возрастающим.
Монотонность (даже по модулю) и стремление к нулю разные понятия.

[Bobris]

Руст,

Цитата:

Ответы вы и сами знаете, только ваши рассуждения для их обоснования никудышные.

Да, это моя проблема, поэтому и за помощью обратился...
По поводу всего остального - я не совсем хорошо в этом разбираюсь (возможно, не весь материал до меня правильно дошел), но задание нужно решить. Вы не могли бы подсказать, как это доказывается? Хотя бы что нужно использовать для этого? Неравенство $|x_n-a|<\epsilon$? Если да, то как его применить в данном случае? Вообще это задание заочной школы МГУ 4 курса, я к ним за помощью обращался на форуме, как они говорили (http://forum.school.msu.ru), но там глухо... unforunately...

[PAV]

Первое. В определении предела фигурирует только "хвост" последовательности - члены начиная с некоторого. Любое изменение любой конечной части последовательности не меняет ее предела. Так что в конечном числе там могут быть любые числа.

Далее, действительно надо использовать указанное неравенство. У нас $a=0$, так что неравенство имеет вид $|x_n|<\varepsilon$. Ничего не мешает всем числам быть отрицательными. От знаков членов последовательности данное определение вообще не зависит.

Быть больше какой-то положительной константы все числа (или даже просто бесконечное их количество) не могут, так как тогда неравенство не выполняется для значений $\varepsilon$, меньших этой константы.

[e2e4]

Надо просто хорошенько подумать над определением предела последовательности. Понять, что в него заложено. Это не сразу удается. Если последовательность имеет предел, равный A, то для любой заранее заданной окрестности точки A($\epsilon$) можно указать номер, начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в этой окрестности.

[Bobris]

PAV, огромное Вам спасибо!:)) Ещё одна проблема возникла:
Найти предел последовательности:
$x_n=(1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2n})
Вы не могли бы подсказать, как действовать с последовательностями, когда в них выполняется умножение, ни разу с такими не сталкивался. И ещё - не могли бы вы подбросить немного литературы по пределам?:))

[e2e4]

Очевидно, что существование и значение данного предела зависит от a... Я пока придумал следующие варианты:
1) Предела не существует (произведение неограниченно возрастает);
2) Предел равен 1;
3) Предела не существует (произведение неограниченно убывает);

[Highwind]

e2e4 писал(а):

Очевидно, что существование и значение данного предела зависит от a... Я пока придумал следующие варианты:
1) Предела не существует (произведение неограниченно возрастает);
2) Предел равен 1;
3) Предела не существует (произведение неограниченно убывает);

Вообще, последовательность странная по части первого множителя.
А шо энто он у вас не сущесвтует в случае 1? Бесконечности равен он, разве нет?
В случае 3 вы уверены, шо он не существует? Тем более, что последовательность не убывает неограниченно.

[Bobris]

e2e4, Highwind, спасибо за то, что включились.
Да, тут все от a зависит. К примеру, возьмем $a= \frac 1 2$, тогда у нас последовательность стремится к нулю, взять $a=1$, последовательность стремится к бесконечности и т.д.. Предложить все возможные варианты поведения последовательности, показывая их на таких примерах, как выше? А вообще существует какая-то формула, с помощью которой можно вычислить предел последовательности, в которой фигурирует умножение? Или все это находится только если рассмотреть, как ведет себя последовательность?

[Руст]

Умножьте на (1-а) и получите 1, что дает ответ 1/(1-а), когда |a|<1.

[Sasha2]

Bobris писал(а):

PAV, огромное Вам спасибо!:)) Ещё одна проблема возникла:
Найти предел последовательности:
$x_n=(1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2n})
Вы не могли бы подсказать, как действовать с последовательностями, когда в них выполняется умножение, ни разу с такими не сталкивался. И ещё - не могли бы вы подбросить немного литературы по пределам?:))

Вы можете перейти от бесконечного произведению к бусконечному ряду, элементами которого являются логарифмы членов Вашего произведения (ну например по основанию e), а затем использовать все имеющиейся признаки сходимости обычных рядов.

[Highwind]

Sasha2 писал(а):

Bobris писал(а):

PAV, огромное Вам спасибо!:)) Ещё одна проблема возникла:
Найти предел последовательности:
$x_n=(1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2n})
Вы не могли бы подсказать, как действовать с последовательностями, когда в них выполняется умножение, ни разу с такими не сталкивался. И ещё - не могли бы вы подбросить немного литературы по пределам?:))

Вы можете перейти от бесконечного произведению к бусконечному ряду, элементами которого являются логарифмы членов Вашего произведения (ну например по основанию e), а затем использовать все имеющиейся признаки сходимости обычных рядов.

Не пугайте человека, ему бы с пределами разобраться для начала

Собственно, Руст усе и решил (как всегда). В остальных случаях предел бесконечность. Так шо "предел не существует", это было сильно сказано.

[Bobris]

Sasha2,

Цитата:

Вы можете перейти от бесконечного произведению к бесконечному ряду, элементами которого являются логарифмы членов Вашего произведения (ну например по основанию e), а затем использовать все имеющиейся признаки сходимости обычных рядов.

Спасибо, но есть одна проблема... Я вообще не знаю, что такое логарифмы.( Но буду рад изучить их. Не могли бы Вы дать ссылки на наиболее подходящую, с вашей точки зрения, литературу?
{EDIT}Руст, спасибо Вам!:)

[Highwind]

Bobris писал(а):

Спасибо, но есть одна проблема... Я вообще не знаю, что такое логарифмы.( Но буду рад изучить их. Не могли бы Вы дать ссылки на наиболее подходящую, с вашей точки зрения, литературу?

Ё-мое. Ну вы даете. Учите матчасть
http://lib.mexmat.ru/books/1955/

[Bobris]

Highwind, а чего Вы от меня хотели?:)) Откуда мне знать логарифмы, я только одиннадцатиклассник. И только буду их изучать в школе (ну, уже по данной литературе самостоятельно).
P.S. Эмм... все-таки

Цитата:

существует формула, с помощью которой можно вычислить предел последовательности, в которой производится умножение

?