Основания математики - элементарное рассмотрение

[EvgenyGR]

Если я правильно понимаю, то конструктивизм это попытка избавиться от «человеческого фактора» в рассуждениях, грубо говоря, результатом законченной конструктивной конструкции, если таковая окажется возможна, будет искусственный интеллект, не выходящий за рамки конечного автомата, начальные условия для работы которого задаются внешним миром. Возможно, я несколько все упрощаю и будет нечто более сложное, но основным свойством любого конструктивного подхода будет то, что любой продукт конструктивизма это детерминированный объект. Однако как мне представляется теорема Кантора, на самом деле не о сравнении мощности множеств, она именно о том, что в мире существуют именно не детерминированные объекты, и в частности таким объектом и является множество действительных чисел. Я к тому, что как в конструктивизме (без человеческого фактора) можно формализовать процедуру «возьмем любое» , ну скажем 0 или 1?

[vek88]

EvgenyGR в сообщении #287072 писал(а):

(1) Если я правильно понимаю, то конструктивизм это попытка избавиться от «человеческого фактора» в рассуждениях, (2) грубо говоря, результатом законченной конструктивной конструкции, если таковая окажется возможна, будет искусственный интеллект, не выходящий за рамки конечного автомата, начальные условия для работы которого задаются внешним миром. Возможно, я несколько все упрощаю и будет нечто более сложное, но основным свойством любого конструктивного подхода будет то, что любой продукт конструктивизма это детерминированный объект. (3) Однако как мне представляется теорема Кантора, на самом деле не о сравнении мощности множеств, она именно о том, что в мире существуют именно не детерминированные объекты, и в частности таким объектом и является множество действительных чисел. Я к тому, что как в конструктивизме (без человеческого фактора) можно формализовать процедуру «возьмем любое» , ну скажем 0 или 1?

Для удобства ссылок вставил нумерацию.

1. Согласен. Но я нигде не ратую за конструктивизм, а просто объясняю суть двух подходов: контруктивного и классического (наивного, интуитивного). Ведь как Вы, видимо, заметили, я опять (в первой половине темы я в открытую говорил о мышлении людей на примере оснований математики) не вполне следую формальному названию темы - я говорю, фактически, не об основаниях математики, а об устройстве "математического мышления". Соответственно, основания математики - это естественный побочный продукт модели "математического мышления".

А математики, занимающиеся основаниями, как я уже говорил, забрели в аксиоматическое болото и ... потерпели фиаско в достижении конечной цели. А все потому, что математики не хотели и не хотят заниматься моделью "математического мышления" - не царское это дело копаться в мозгах. Максимум, до чего дошли математики в этом плане - это работа математика-вычислителя!? Ну и в результате придумали понятие алгоритма и финитной формальной системы. А почему не пошли дальше и не попытались дать модель математика-мыслителя??? Этого я не понимаю.

Хотя, надо отдать математикам-основателям должное - в своих блужданиях по акиоматическому болоту они накопали много интересного и полезного.

2. Из предыдущего пункта следует, что я не свожу ИИ к алгоритмам, тем более, к конечным автоматам. ИИ может моделировать и конструктивные (РП и/или алгоритмические) конструкции, и классические (наивные, интуитивные). А если Вы еще обобщите К-системы на нечеткие теории (нейроны ведь так и работают), то будет вообще улет.

3. На интуитивном уровне здесь я с Вами соглашусь.

[vek88]

Завершает наше рассмотрение оснований математики очевидный тезис.

Тезис vek88. Интуитивное понятие математической теории равнообъемно с точным понятием полной К-системы.

Разумеется, всякая полная К-система является и математической теорией в интуитивном смысле. Обратное утверждение о том, что всякая математическая теория в интуитивном смысле является полной К-системой - это не математическое утверждение, а закон природы.

Таким образом, и весь Тезис представляет собой закон природы.

Обратите внимание, что про оракулы мы здесь ничего не говорим, т.к. оракулы - это лишь удобный способ объяснения понятий типа множества всех ДЧ в рамках полных К-систем.

[Владимир Рогожин]

vek88 в сообщении #284866 писал(а):

...Уважаемый Владимир Рогожин! Как только я написал эту фразу, сразу вспомнил приведенную Вами цитату:

Владимир Рогожин в сообщении #279239 писал(а):

1. "...истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей." (А.Зенкин "Научная контрреволюция в математике" http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html)

Спасибо Вам огромное! С большим интересом прочитал статью. Абсолютно солидарен с автором статьи. В частности, всегда считал и считаю, что попытки построить новую и полезную конструкцию на основе аксиоматизации (фактически еще не построенной этой самой конструкции) - это порочная практика, загоняющая "строителя" в тупик. Попросту говоря, он сам добровольно одевает себе на шею хомут, а потом предпринимает героические усилия, пытаясь освободиться от этого хомута.

Есть один "хомут", от которого не спрячется ни математик, ни физик-ЗАКОН. И соответственно одна аксиома ("аксиома первоначала") которую тоже не обойдешь: "В Начале был Закон (логос)..." Нарисовать сначала простейшую конструкцию закона (умозаключения-«элементарного акта мысли») в виде "небесного треугольника", его инварианты, а потом уж строить (не поднимаясь на десятые этажи абстракции) основание математики (физики тоже, знания в целом). Это и есть "элементарное рассмотрение". Здесь и логицизм, и формализм, и интуитивизм, и конструктивизм "в одном флаконе". Без отрыва от реальности. В том числе и той, которая "шевелится" в головах у математиков.
Лирик

[EvgenyGR]

Владимир Рогожин в сообщении #287503 писал(а):

Нарисовать сначала простейшую конструкцию закона

Возможно, это было бы продуктивно, если бы вселенная (мироздание или как там еще) шло от простого к сложному (возможно к бесконечно сложному). А если все происходит как раз наоборот. Если вселенная причем в каждой своей малой части изначально бесконечно сложная и лишь в каких-то частных случаях на какое-то небольшое время лишь с какой-то точностью мы можем свести описание этой части к какому-то конечному описания (нарисовать простейшую конструкцию)?

А что такое вообще описание? Выскажу предположение. Описание это сопоставление различных состояний наблюдаемых событий и состояний. Сопоставление в каком-либо смысле, в том числе и в смысле подобия, различных изоморфизмов или еще чего.

Мы из бесконечно сложного объекта выделяем какой-то конечный набор признаков и по этим признакам пытаемся сопоставить (уподобить) его другому бесконечно сложному объекту, надеясь, что в дальнейшем поведение второго объекта окажется подобным поведению первого взятого за образец. Если такое поведение оказывается не подобным, мы пытаемся найти еще какой-то признак в надежде это подобие получить, и в конце концом упираемся в теорему Неймана (из квантовой механики) о скрытых параметрах.

В результате «математическое мышление» вынужденно работать с аксиомами (в философии категории) которые может «понять» только человек. Иначе говоря формулируя аксиому говорящий сопоставляет какой-то бесконечно сложный объект в своем «математическом мышлении» с подобным объектом в «математическом мышлении» другого человека. И при всем при этом такое сопоставление всегда условно и неполно. Само же «математическое мышлении», можно трактовать, как попытки уподобить объекты и происходящие с ними процессы, из внешнего мира и с объектами и процессами находящимися в мозге.

Если под интуитивным мышлением понимать попытку сопоставить объекты по частным признакам, то «математическое мышление» в этом смысле всегда интуитивно. Во всяком случае это относиться к аксиоматическому подходу.

[Владимир Рогожин]

EvgenyGR в сообщении #287567 писал(а):

Владимир Рогожин в сообщении #287503 писал(а):

Нарисовать сначала простейшую конструкцию закона

Возможно, это было бы продуктивно, если бы вселенная (мироздание или как там еще) шло от простого к сложному (возможно к бесконечно сложному). А если все происходит как раз наоборот. Если вселенная причем в каждой своей малой части изначально бесконечно сложная и лишь в каких-то частных случаях на какое-то небольшое время лишь с какой-то точностью мы можем свести описание этой части к какому-то конечному описания (нарисовать простейшую конструкцию)?

Понятия "простое" - "сложное" в процессе схватывания основания (математики, вообще знания, "основание мироздания") следует вынести за скобки. Необходимо (математику, который "ищет истину") рассматривать только абсолютные (т.е. безусловные) формы существования (абсолютные состояния) материи. И именно на этой основе рисуется "простейшая" конструкция - основание. В "элементарном рассмотрении" - ЗАКОНА как умозаключения. Умозаключения не оторванного от реальности (мироздание), а репрезентирующего его в предельно обобщенной форме. Поэтому и необходимость в рисовании (образ основания). О чем собственно и говорил А.А.Зенкин в своей статье "Научная контрреволюция в математике". В этом конструктивность. На понятиях и условных "значках" - до основания (истинного) не докопаешься. Нужен ЗНАК репрезентирующий безусловность. А безусловность проистекает из законосообразности мироздания.

EvgenyGR в сообщении #287567 писал(а):

... А что такое вообще описание? Выскажу предположение. Описание это сопоставление различных состояний наблюдаемых событий и состояний. Сопоставление в каком-либо смысле, в том числе и в смысле подобия, различных изоморфизмов или еще чего.

Согласен. Ключевое слово для рисования основания (математики) - состояние (материи, если ее понимать в широком, платоновском смысле как то, из чего все РОЖДАЕТСЯ). Причем АБСОЛЮТНОЕ (безусловное). Математики работают с формами, но почему-то боятся слова "абсолютное".

EvgenyGR в сообщении #287567 писал(а):

... Мы из бесконечно сложного объекта выделяем какой-то конечный набор признаков и по этим признакам пытаемся сопоставить (уподобить) его другому бесконечно сложному объекту, надеясь, что в дальнейшем поведение второго объекта окажется подобным поведению первого взятого за образец. Если такое поведение оказывается не подобным, мы пытаемся найти еще какой-то признак в надежде это подобие получить, и в конце концом упираемся в теорему Неймана (из квантовой механики) о скрытых параметрах.

В результате «математическое мышление» вынужденно работать с аксиомами (в философии категории) которые может «понять» только человек. Иначе говоря формулируя аксиому говорящий сопоставляет какой-то бесконечно сложный объект в своем «математическом мышлении» с подобным объектом в «математическом мышлении» другого человека. И при всем при этом такое сопоставление всегда условно и неполно. Само же «математическое мышлении», можно трактовать, как попытки уподобить объекты и происходящие с ними процессы, из внешнего мира и с объектами и процессами находящимися в мозге.

Преодоление "условности" (для построения надежного основания математического здания) только и возможно оперевшись на абсолютное. Для математика - это абсолютные формы существования, их схватывание. "Событие, состоящее в схватывании структуры, означает понимание" (Гутнер). Со структурами математик и работает. Когда же идет речь о "схватывании" основания (математики) неплохо бы пройтись вслед за Протогеометром к "началу геометрии" (см. Э.Гуссерль "Начало геометрии"):«Лишь в той мере, в какой при идеализации учитывается аподиктически всеобщее содержание пространственно-временной сферы, инвариантное во всех мыслимых вариациях, может возникнуть идеальное образование, которое в любом будущем и для всех грядущих поколений будет понятно и в таком виде будет передаваемо традицией и воспроизводимо в идентичном межсубъектном смысле.»
Вот это "идеальное образование" и надо "схватить" (построить). У Умберто Эко оно называется - "отсутствующая структура".

EvgenyGR в сообщении #287567 писал(а):

... Если под интуитивным мышлением понимать попытку сопоставить объекты по частным признакам, то «математическое мышление» в этом смысле всегда интуитивно. Во всяком случае это относиться к аксиоматическому подходу.

Вот здесь не соглашусь. Именно "математическое мышление" (в широком смысле) с опорой на "первоаксиому" только и способно выйти на то, чтобы "нарисовать истину" (в данном случае по теме - "основание математики". "Основания" и "основание" - это ни одно и то же).

[vek88]

С праздником уважаемые коллеги!

Вспомнил еще один вопрос в связи с основаниями. Вот, что я имел честь написать в самом начале данной темы.

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Таким образом, господа!
(1) Или уходите из классической логики, допустив неразрешимые утверждения, следовательно отказавшись от теории множеств в классическом понимании. С абстрактной точки зрения такая теория множеств имеет право на существование. Однако не думаю, что она интересна математикам. Хотя впрочем, кто ж это знает?
(2) Или пусть все будет как было в старой наивной теории множеств ... , но ограничьте себя корректными определениями вводимых Вами множеств (или полными в смысле либо ложь, либо истина и третьего не дано).

Мы как-то сразу отмахнулись от варианта (1). А на самом деле интересно просмотреть хотя бы кратко и эту возможность.

Итак, зная теперь основные понятия К-систем, рассмотрим следующую возможность. Предположим, что мы хотим творить математику в условиях неограниченной свободы творчества в К-системах, т.е. отказавшись от ограничения полными К-системами. Это значит, что теперь мы вводим любые понятия, например, даем определения типа парадокса Рассела. Разумеется, теперь, никакого парадокса не возникнет - мы просто придем к тому, что утверждение $R \in R$ неразрешимо (ни истинно, и ни ложно). Ясно, что теперь мы оказываемся вне классической логики.

Для затравки дальнейшего обсуждения вопрос: какая теперь у нас логика?

[vek88]

Ну вот, приехали. Когда разделение на теорию и метатеорию было как-то не очень уж и важно, меня все упрекали "за отсутствие метатеории". А теперь что-то никто и не хочет вспомнить про это. Хотя такой момент и настал. Придется дать разъяснения.

Итак, мы договорились строить теории в определенном классе нефинитных формальных систем - в К-системах.

Но мы можем изучать эти теории на уровне метатеории. Пример метатеоремы: если утверждение теории ложно, то оно не является истинным.

Соответственно, искомая металогика - это логика для рассуждений о теориях, построенных в К-системах.

Понимаю, что у нас элементарное рассмотрение. Поэтому пока предлагаю рассмотреть более простой вопрос:

Какова металогика полных К-систем?

[vek88]

Придется подсказывать. Итак, вспомним, что в полных К-системах представимы (=определимы) традиционные логические связки $\vee, \wedge$, отрицание $\neg$ и кванторы $\forall, \exists.$ Известно (надеюсь), что можно ограничиться и меньшим количеством связок и кванторов (исключительно для удобства - меньше писанины в тех случаях, когда рассматриваются теоретические вопросы).

Мы далее рассматриваем язык первого порядка $L$, в котором используются

$$\wedge, \neg, \forall.$$

Не вдаваясь в изложение скушных деталей, примем на веру, что любая формула языка $L$ представима в полной К-системе. Следовательно, любая замкнутая формула либо истинна, либо ложна.

А теперь озаботимся естественным вопросом - какие формулы являются логическими законами? И что следует считать логическим законом?

Теперь, наконец, кто-нибудь выскажется?

[AlexDem]

Ничего, если я задам вопросы по ранее пройденному здесь материалу? Поместил в тег Off, чтобы не перегружать тему:

(Оффтоп)

vek88 в сообщении #284028 писал(а):

Определение объединения непонятно, может я что упускаю, соответственно и задачи не получаются. Какое из двух правил следует применить в каком случае? По первому правилу $Ax \to x$ получается $AB \to B$, а по второму - $BA \to A$ (ничего, что я здесь черту на стрелки заменил по аналогии с представлением формальных грамматик? Или здесь и кроется ошибка?).

Добавление: скачал "Представление в ЭВМ неформальных процедур", посмотрел на с.83 как вводится пересечение:

$$\frac{Ex Fx}x$$

. Получается, у Вас здесь $E$ и $F$ - некий вспомогательный знак, что использовался и в определении $N$. С этим разобрался, хотя сразу было бы понятней, если записать:

$$\frac{Ex Fx}{Gx}$$

, где $G$ - определяемое множество.

[AlexDem]

Добрался вот до этого места:

vek88 в сообщении #284468 писал(а):

1. Вывод, все исключения из которого Л-выводы, является И-выводом.
2. Вывод, имеющий исключением И-вывод, является Л-выводом.

Обратим внимание, что вывод, не имеющий исключений, подпадает под пункт 1.

На этот случай у меня нашлась заначка:

J.F. писал(а):

Существуют и более сложные парадоксы теории множеств, не связанные напрямую с какой либо логической операцией типа отрицания
Curry's paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Curry's_paradox

Там вроде как нет исключений, а парадокс - есть. Как можно описать ситуацию и решить парадокс в терминах К-систем?

[AlexDem]

vek88 в сообщении #284210 писал(а):

Тема 2. Нефинитное обобщение канонических систем

Определение. Пусть $P, Q$ - выводы в некоторой К-системе. Если вывод $Q$ содержит выражение $\ominus a$, где $a$ - слово, и $P$ - вывод слова $a$, то вывод $P$ - исключение из вывода $Q$. В этом случае используем запись $P<Q$.

И вопрос: что гарантирует нам, что если $P < Q$, то $\neg(Q < P$)? То есть - почему возможна частичная упорядоченность по этому отношению, почему не может быть циклических зависимостей вида:

$$P = \frac{a_1 \ominus b}a, Q = \frac{b_1 \ominus a}b$$

? А если они есть, то какой из двух выводов считать И-выводом?

[vek88]

AlexDem в сообщении #292960 писал(а):

Ничего, если я задам вопросы по ранее пройденному здесь материалу? Поместил в тег Off, чтобы не перегружать тему:

(Оффтоп)

vek88 в сообщении #284028 писал(а):

Определение объединения непонятно, может я что упускаю, соответственно и задачи не получаются. Какое из двух правил следует применить в каком случае? По первому правилу $Ax \to x$ получается $AB \to B$, а по второму - $BA \to A$ (ничего, что я здесь черту на стрелки заменил по аналогии с представлением формальных грамматик? Или здесь и кроется ошибка?).

Добавление: скачал "Представление в ЭВМ неформальных процедур", посмотрел на с.83 как вводится пересечение:

$$\frac{Ex Fx}x$$

. Получается, у Вас здесь $E$ и $F$ - некий вспомогательный знак, что использовался и в определении $N$. С этим разобрался, хотя сразу было бы понятней, если записать:

$$\frac{Ex Fx}{Gx}$$

, где $G$ - определяемое множество.

Данное определение объединения множеств определяет множество слов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств $E, F$. Т.е. все соответствует обычному пониманию объединения.

Более подробно (и занудно): в построенной К-системе, включающей К-системы для $E, F$ и два правила, определяющие объединение, выводимы ровно слова, выводимые в К-системе $E$, или в К-системе $F$.
-- Сб фев 27, 2010 19:11:02 --

AlexDem в сообщении #293055 писал(а):

vek88 в сообщении #284210 писал(а):

Тема 2. Нефинитное обобщение канонических систем

Определение. Пусть $P, Q$ - выводы в некоторой К-системе. Если вывод $Q$ содержит выражение $\ominus a$, где $a$ - слово, и $P$ - вывод слова $a$, то вывод $P$ - исключение из вывода $Q$. В этом случае используем запись $P<Q$.

И вопрос: что гарантирует нам, что если $P < Q$, то $\neg(Q < P$)? То есть - почему возможна частичная упорядоченность по этому отношению, почему не может быть циклических зависимостей вида:

$$P = \frac{a_1 \ominus b}a, Q = \frac{b_1 \ominus a}b$$

? А если они есть, то какой из двух выводов считать И-выводом?

Никто ничего здесь не гарантирует. Возможны циклы. Вы как раз и привели пример, где $P<Q$ и $Q<P$. Разумеется, эти два вывода не являются ни И-, ни Л-выводами. Кстати, Ваш пример можно упростить, убрав посылки $a_1, b_1$.

С уважением,
vek88

(Оффтоп)

PS. Только что приехал домой - был с рулем около 6-и часов. Поэтому соображаю плохо и смог ответить пока только на два Ваших сообщения. Но обязательно отвечу, если смогу, и на остальные вопросы - попозже.

[vek88]

AlexDem в сообщении #293028 писал(а):

Добрался вот до этого места:

vek88 в сообщении #284468 писал(а):

1. Вывод, все исключения из которого Л-выводы, является И-выводом.
2. Вывод, имеющий исключением И-вывод, является Л-выводом.

Обратим внимание, что вывод, не имеющий исключений, подпадает под пункт 1.

На этот случай у меня нашлась заначка:

J.F. писал(а):

Существуют и более сложные парадоксы теории множеств, не связанные напрямую с какой либо логической операцией типа отрицания
Curry's paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Curry's_paradox

Там вроде как нет исключений, а парадокс - есть. Как можно описать ситуацию и решить парадокс в терминах К-систем?

Разумеется, я не могу однозначно определить Curry's paradox в К-системе, поскольку он сформулирован неформально. Вот, что у меня получилось.

$$\frac{\neg A \vee B}{C}, \frac{C}{A}.$$

Здесь импликация $A \rightarrow B$ определена как $\neg A \vee B$, а второе правило обеспечивает самоссылку. Раскрывая в К-системе же определения связки ИЛИ и отрицания получаем окончательно следующее определение парадокса в К-системе

$$\frac{\neg A}{C}, \frac{B}{C},\frac{\ominus x}{\neg x}, \frac{C}{A}.$$

Интересно рассмотреть два случая.

1. Имеются еще какие-то правила, из которых выводится истинность $B$ (т.е. существует И-вывод $B$). Тогда все просто: $A,C$ тоже истинны.

2. Для $B$ не существует И-вывода. Тогда, если не ошибаюсь, $A,C$ неразрешимы.

-- Сб фев 27, 2010 21:16:47 --

Замечание. Я везде пел, что в К-системах полнота проверяется просто, а вот в традиционных формализациях доказать непротиворечивость, как правило, очень сложно.

Разумеется, абстрактно это не так. Установление полноты произвольной К-системы - это еще более сложно, чем установление непротиворечивости произвольной финитной формальной системы.

Говоря же об относительной простоте проверки полноты (в сравнении с проверкой непротиворечивости, например, ZFC), я имел в виду лишь проверку полноты обычных математических построений, не направленных специально на построение парадокса. Конечно, это мое утверждение не формально и сродни "Тезисам".

Кстати, заметьте, что обычные парадоксы отсекаются в К-системах достаточно просто.

[vek88]

Отдохнув и подкрепившись понял, что Curry's paradox можно представить проще.

$$\frac{\neg A \vee B}{A}$$

Т.е. самоссылка обеспечивается "без посредников". Раскрывая в К-системе же определения связки ИЛИ и отрицания получаем окончательно более простое определение парадокса в К-системе

$$\frac{\neg A}{A}, \frac{B}{A},\frac{\ominus x}{\neg x}.$$

Далее будем на эти правила ссылаться как 1, 2, 3.

Если $B$ истинно, т.е. имеется его И-вывод через какие-то еще правила, не указанные явно, то, как и раньше, отсюда следует истинность $A$ (добавив к правилу $\frac{B}{A}$ И-вывод $B$ получим И-вывод $A$).

Пусть теперь $B$ не истинно (ложно или неразрешимо), т.е. у него нет И-выводов. Смотрим какие выводы $A$. Есть вывод $P_1(A)$ последовательно через правила 1, 3. Ясно, что $P_1(A)<P_1(A).$ Возможны еще выводы через правило 2 и далее через правила для $B$ (если существуют). Но поскольку по предположению $B$ не истинно, таких И-выводов $A$ быть не может. С учетом сказанного, заключаем, что И-выводов $A$ нет, а все его выводы не могут быть Л-выводами, поскольку вывод $P_1(A)$ не является ни И-, ни Л-выводом. Значит $A$ неразрешимо.