гипотеза о PDE

[terminator-II]

Пусть $H_r$ пространство функций голоморфных в круге $|z|<r$.

Гипотеза.
Задача Коши

$$u_t=u^2-u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

имеет решение $u(t,z)\in C([0,T],H_r)$ при некоторых $T,r>0$.

Your comments are welcome.

[terminator-II]

Пожалуй гипотеза снимается. Т .е. может это и верно, но регулярного способа проверять такие вещи у меня нет.

[terminator-II]

должно быть так

$$u_t=u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

[Padawan]

Не понимаю, в чем проблема. Решение существует, причем аналитическое по $t,x,y$ ($x+iy=z$) -- это теорема Коши-Ковалевской. Надо проверить, что выполнены условия Коши-Римана. Берем сответствующие производные слева и справа. Раз в начальный момент они выполнены, то по в силу единственности решения и дальше будут выполнены.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #292339 писал(а):

Пусть $H_r$ пространство функций голоморфных в круге $|z|<r$.

Гипотеза.
Задача Коши

$$u_t=u^2-u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

имеет решение $u(t,z)\in C([0,T],H_r)$ при некоторых $T,r>0$.

Your comments are welcome.

А что значит $u(t,z)\in C([0,T],H_r)$?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #292444 писал(а):

Не понимаю, в чем проблема. Решение существует, причем аналитическое по $t,x,y$ ($x+iy=z$) -- это теорема Коши-Ковалевской.

советую перечитать теорему Коши-Ковалевской

[AGu]

Padawan в сообщении #292480 писал(а):

А что значит $u(t,z)\in C([0,T],H_r)$?

Наверное, под $u(t,z)$ здесь понимается $t\mapsto u(t,\cdot)$. Т.е. тут утверждается, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U(t):=u(t,\cdot)$ принадлежит $H_r$ и что функция $U:[0,T]\to H_r$ непрерывна. Я угадал?

[terminator-II]

Угадали. Вообще-то это стандартная нотация для урчп. Точно также стандартно считается, чтов множестве аналитических функций области задана топология компактной сходимости.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #292510 писал(а):

Padawan в сообщении #292444 писал(а):

Не понимаю, в чем проблема. Решение существует, причем аналитическое по $t,x,y$ ($x+iy=z$) -- это теорема Коши-Ковалевской.

советую перечитать теорему Коши-Ковалевской

Вы правы. Уравнение должно быть разрешено относительно производной максимального порядка.

-- Пт фев 26, 2010 15:44:39 --

А что если строить ломаные Эйлера, как при доказательстве теоремы Пеано для обыкновенных дифф. уравнений? Разбить отрезок $[0,T]$ на $n$ равных частей, и аппроксимировать искомое отображение $[0,T]\to H_r$ ломаными. Потом показать, что при некоторых $T,r>0$ эта последовательность равномерно ограничена и равностепенна непрерывна (в $H_r$ равномерная метрика)+ теорема Арцела.

[Padawan]

если $r<s$, то $\|F(u)\|_r=\|u^2-u_{zz}\|_r\leqslant {\|u\|_r}^2+\dfrac{1}{\pi (s-r)^2}\|u\|_s$

[Padawan]

По-моему, для любого $0<r<1$ найдется $T>0$, что существует решение $u(t,z)\in C([0,T],H_r)$ (и для первой, и для второй задачи)

P.S. может все-таки $C^1$ ?

[terminator-II]

1) Пример Ковалевской.
Задача

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет аналитических решений в области $\{|t|<c_1\}\times\{|z|<c_2\}$ при любых $c_1,c_2>0$.

2) Совсем очевидно. Задача

$$u_t=z^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет решений в $C([0,T],H_r)$.
Если Ваши рассуждения проходят для этих задач, значит они не верны.

Padawan в сообщении #292645 писал(а):

P.S. может все-таки $C^1$ ?

Можно рассматривать обобщенное решение, можно классическое.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #292656 писал(а):

1)

2) Совсем очевидно. Задача

$$u_t=z^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет решений в $C([0,T],H_r)$.

Для этого проходят. А почему не имеет решений?

[terminator-II]

Ищем решение в виде $u(t,z)=\sum_{k\in\mathbb{Z}_+}u_k(t)z^k$. Убеждаемся, что решения нет.

[Padawan]

А почему Вы думаете, что этот ряд можно почленно дифференцировать по $t$ ?