Про Гамму-функцию

[caxap]

Вроде бы как Гамму функцию придумал Эйлер, чтобы расширить понятие факториала на нецелые аргументы. Но вопрос вот в чём, расширил-то он его расширил, но почему ещё $+1$ появилось -- лично мне непонятно. На мой взгял, наиболее естественно её определить как $\Gamma (n)=\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx$, тогда $\Gamma(n)=n!$ для целого $n$. Но почему-то на самом деле $\Gamma (n)=\int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx$ и $\Gamma(n+1)=n!$. Зачем так извращаться?

[Полосин]

1. Правильно "Про гамма-функцию". Названия греческих и латинских букв в русском языке не склоняются и пишутся со строчной буквы.
2. Не гамма-функция есть расширение факториала, а факториал есть частный случай гамма-функции при натуральных $n$. Гамма-функция определяется как функция комплексного аргумента, существующая при всех $z\ne0,-1,-2,...$. Она обладает многими замечательными свойствами, и совпадение с факториалом при натуральных аргументах - далеко не самое главное и важное из них.
3. Предложенное вами определение принципиально ничем не отличается от классического и ничего нового не дает.
4. Употребление слов "Эйлер" и "извращаться" в одном контексте лично мне представляется неприемлемым.

[AD]

Полосин в сообщении #291985 писал(а):

Не гамма-функция есть расширение факториала, а факториал есть частный случай гамма-функции при натуральных $n$.

Вопрос философский ...

В учебный раздел.

[RIP]

Кстати, функция $\Gamma(z+1)$ тоже именная функция (Гаусс) и имеет стандартное обозначение $\Pi(z)$.