Магические квадраты

[maxal]

12d3 в сообщении #289894 писал(а):

В качестве проверки: верно, что у магического квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел минимальная константа 1843?

Нет. См. A073520

[12d3]

Теперь сошлось. Это я неправильно проверял. =)
Улучшенный вариант программы. Алгоритм генерации смитов заменен на maxalовский. Числа поддерживаются до триллиона. Для проверки разумнее всего задавать интервалы длиной не менее ста миллионов. Но больше 500 миллионов не стоит, потому как скорее всего памяти не хватит (тогда вылетит с ошибкой). И соседние интервалы, которые будете проверять, делайте немного пересекающимися(например, зазор в миллион пойдет), чтобы ничего не пропустить.

[Nataly-Mak]

Оказывается, простые числа тоже иногда “капризничают”.

Наименьший магический квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел имеет магическую константу $258$.
См. последовательности A073520 и A073521 в OEIS.
При этом из первых трёх потенциальных массивов последовательных простых чисел магический квадрат 4-го порядка не построился (с константами 124, 204 и 240).
Следующий магический квадрат порядка 4 из последовательных простых чисел имеет константу $276$:

41 37 97 101
103 83 47 43
71 67 79 59
61 89 53 73

Этот квадрат составлен из потенциального массива, следующего сразу же за массивом, из которого построен наименьший квадрат.
А вот следующий квадрат имеет константу $5118$:

1229 1249 1321 1319
1301 1303 1231 1283
1297 1277 1307 1237
1291 1289 1259 1279

Мне стало интересно, и я решила найти следующий квадрат. Магическая константа квадрата № 4 равна $19896$. Вот этот квадрат:

4943 4933 5011 5009
4999 4973 4967 4957
5003 4969 4987 4937
4951 5021 4931 4993

Можно открывать новую последовательность: из магических констант квадратов 4-го порядка из последовательных простых чисел:

258, 276, 5118, 19896, … 

По-моему, такой последовательности ещё нет.

Поищу следующие квадраты в этой серии магических квадратов.
А затем буду искать пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел. Понятно, что искать его надо только среди квадратов описанной выше серии. Уже написала программу проверки заданного массива из 16 чисел на предмет построения из него пандиагонального квадрата 4-го порядка.
Я построила пандиагональный квадрат 4-го порядка из произвольных простых чисел, его магическая константа равна $240$. А вот из последовательных простых пандиагонального квадрата 4-го порядка у меня пока нет. По-моему, его и вообще ещё нет. Мне не встречался.
Вот пандиагональный квадрат 6-го порядка из последоветельных простых чисел есть (см. A073523).

Приглашаю всех к решению этих задач: продолжения новой последовательности и построения наименьшего пандиагонального квадрата 4-го порядка из последовательных простых чисел.

Ну, и в перспективе, конечно, надо найти наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел. А затем и 7-го порядка Раз уж у нас есть пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых.

[Nataly-Mak]

Нашла следующий квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел, его магическая константа равна $50478$.

12553 12583 12689 12653
12641 12647 12601 12589
12671 12611 12619 12577
12613 12637 12569 12659

Проверила все пять квадратов по новой программе (построение пандиагонального квадрата 4-го порядка из массива, состоящего из 16 чисел). Ни один массив пандиагонального квадрата не даёт.

Похоже, пандиагональный квадрат из последовательных простых чисел найдётся не сразу.
Пандиагональный квадрат 4-го порядка из произвольных простых чисел я построила по формуле Бергхольта (см. статью "Общие формулы магических квадратов".

[Nataly-Mak]

Хочу предложить программы для решения предложенных выше задач. Хотя они написаны на древнем языке QBASIC, но как показывает совсем недавний анализ моей программы, написанной на этом же языке,
представленный svb, можно и из таких программ извлечь некоторую пользу.

1. Программа проверки 50 массивов по 16 чисел на предмет построения магического квадрата 4-го порядка

maxal
это та самая программа, которая проверяла представленные вами потенциальные массивы для квадратов 4-го порядка из последовательных смитов.
Интересно отметить, что 50 массивов из смитов проверяются гораздо быстрее, чем 50 массивов из простых чисел. Это связано с уже не раз отмеченным здесь свойством смитов плохо складываться в группы, дающие магическую константу.
Вчера я искала по этой программе магические квадраты 4-го порядка из последовательных простых чисел. Для 50 массивов программа выполняется примерно 30-40 минут. Мне удалось найти всего три квадрата в дополнение к уже известным двум квадратам.

Понятно, что этот алгоритм далеко не единственный. Кстати, я думала над вашим алгоритмом поиска потенциальных массивов. Как мне кажется, это именно тот алгоритм, который использует в своих программах 12d3. Но ему удаётся довести алгоритм до получения магического квадрата, вы же остановились в шаге от готового квадрата.
Видимо, в новой программе для поиска квадратов 5-го порядка из последовательных смитов, которую только что представил 12d3, используется тот же алгоритм.

2. Программа проверки массива из 16 чисел на предмет построения пандиагонального квадрата 4-го порядка

Пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел пока найти не удалось. Программу протестировала на построенном мной ранее (по формуле Бергхольта) пандиагональном квадрате 4-го порядка из произвольных простых чисел. Программа тест прошла.

Сейчас ещё раз посмотрела на схему, реализованную в программе построения пандиагонального квадрата. В схеме 6 свободных переменных. Вижу, что можно значительно улучшить схему, уменьшив количество свободных переменных до 4. Надо попробовать. Если получится, представлю новую версию программы.

[svb]

Программа генерации всех квадратов 4х4

[svb]

Более или менее протестированные:
Версии 6 и 7 програмы MAK

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #290330 писал(а):

Более или менее протестированные:
Версии 6 и 7 програмы MAK

Что нового в последних версиях программы? Алгоритм тот же самый или другой?
Программа по-прежнему проверяет только один массив из 16 чисел?

[Nataly-Mak]

svb
Опробовала программу для квадратов 4х4. Отлично работает! Спасибо.

Ввела вот этот массив простых чисел:

41 37 97 101 103 83 47 43 71 67 79 59 61 89 53 73

Программа работала 0.32 сек., выдала в выходной файл 8 квадратов, я их ещё не анализировала, скорее всего, все эквивалентные.

Теперь у меня дело поиска квадратов 4х4 из последовательных простых чисел быстрее пойдёт. А то моя программа на Бейсике долго всё же работает.

У вас там в архиве много всего есть; как я поняла, примеры разные, и квадраты из простых чисел, и квадраты из смитов. Но я извлекла из архива только саму программу, остальное пока не смотрела. Интересно было посмотреть на работу программы

Небольшой недостаток есть в формате записи готовых квадратов. Вот, например, так у меня квадрат записан в выходном файле:

magic=19896
1:
4943499950034951
4933497349695021
5011496749874931
5009495749374993

[svb]

Nataly-Mak в [url=http://dxdy.ru/post290374.html#p290374 писал(а):

41 37 97 101 103 83 47 43 71 67 79 59 61 89 53 73

Программа работала 0.32 сек., выдала в выходной файл 8 квадратов, я их ещё не анализировала, скорее всего, все эквивалентные.

Нет, конечно. Вы запустите вывод квадратов из стандартного исходного ряда 1,2,..,16 - выдаст ровно 880 квадратов. Правда можно применить преобразование "выворачивания", тогда в 2 раза можно сократить, но для 4 порядка обычно эквивалентными считают с учетом поворотов и симметрии (8 в классе эквивалентности).

Nataly-Mak писал(а):

Небольшой недостаток есть в формате записи готовых квадратов. Вот, например, так у меня квадрат записан в выходном файле:

Видел, забыл поправить. В ближайшее время заменю.

По поводу mak6 и mak7 - со старой программой mak5 было неудобно работать, т.к. основная работа смещалась к концу - вывод тех же квадратов из простых чисел был с серьезной задержкой. Кроме того, эти две программы более тщательно тестировались, поэтому рекомендую заменить mak5.

-- Пт фев 19, 2010 16:41:04 --

Nataly-Mak в сообщении #290374 писал(а):

Небольшой недостаток есть в формате записи готовых квадратов. Вот, например, так у меня квадрат записан в выходном файле:

magic=19896
1:
4943499950034951
4933497349695021
5011496749874931
5009495749374993

Исправил и заменил оба архива: mak6&7.rar и mag4x4.rar

[Nataly-Mak]

Цитата:

Нет, конечно. Вы запустите вывод квадратов из стандартного исходного ряда 1,2,..,16 - выдаст ровно 880 квадратов. Правда можно применить преобразование "выворачивания", тогда в 2 раза можно сократить, но для 4 порядка обычно эквивалентными считают с учетом поворотов и симметрии (8 в классе эквивалентности).

Ды, вы правы.

Спасибо, что изменили программы. Возьму новые версии.

[12d3]

Проверяйте квадратик из чисел Смита. =) Авось, нигде не обсчитался.

1743898107  1743898095  1743898425  1743898281  1743898414  
1743898144  1743898450  1743898341  1743898256  1743898131  
1743898371  1743898155  1743898226  1743898268  1743898302  
1743898440  1743898166  1743898168  1743898306  1743898242  
1743898260  1743898456  1743898162  1743898211  1743898233  

[svb]

12d3 в сообщении #290450 писал(а):

Проверяйте квадратик из чисел Смита. =) Авось, нигде не обсчитался.

Из данного набора получается только один квадрат. Увы...
Time : 31.70 s

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #285318 писал(а):

О формуле Бергхольта см. статью "Общие формулы магических квадратов".

Вы там пишите: "Более совершенная формула магического квадрата 4-го порядка была предложена Бергхольтом в 1910 году [4]."
И чем же эта формула "более совершенна"? Обе формулы: и Ермакова, и Бергхольтом являются общими для магических квадратов 4x4. То есть, любой квадрат, полученный по одной формуле, можно получить и по другой, и наоборот. Поэтому я не вижу оснований называть какую-то из них совершеннее другой.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #290492 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #285318 писал(а):

О формуле Бергхольта см. статью "Общие формулы магических квадратов".

Вы там пишите: "Более совершенная формула магического квадрата 4-го порядка была предложена Бергхольтом в 1910 году [4]."
И чем же эта формула "более совершенна"? Обе формулы: и Ермакова, и Бергхольтом являются общими для магических квадратов 4x4. То есть, любой квадрат, полученный по одной формуле, можно получить и по другой, и наоборот. Поэтому я не вижу оснований называть какую-то из них совершеннее другой.

Называя формулу Бергхольта более совершенной, я имела в виду то, что она даёт возможность строить также ассоциативные и пандиагональные квадраты (что я и сделала в своей статье). Ермаков в своей формуле построение таких квадратов не предусматривал.
Кроме того, сам Ермаков написал, что не нашёл таких значений параметров, при которых по его формуле получается традиционный магический квадрат. Я с ходу тоже не нашла такие значения. А по формуле Бергхольта такие значения находятся сразу.

-- Сб фев 20, 2010 06:32:53 --

12d3 в сообщении #290450 писал(а):

Проверяйте квадратик из чисел Смита. =) Авось, нигде не обсчитался.

1743898107  1743898095  1743898425  1743898281  1743898414  
1743898144  1743898450  1743898341  1743898256  1743898131  
1743898371  1743898155  1743898226  1743898268  1743898302  
1743898440  1743898166  1743898168  1743898306  1743898242  
1743898260  1743898456  1743898162  1743898211  1743898233  

Поздравляю!!!
Вот! А вы говорили, что не найдётся такой квадрат

Осталось найти наименьший квадрат 4-го порядка из последовательных смитов и можно открывать новую последовательность.
Всего один квадратик остался