Это очень просто: берите все нечётные строки треугольника Паскаля и скалярно умножайте на третью строку
-треугольника - получите все квадраты нечётных чисел.
Нужны кубы - умножайте те же строки треугольника Паскаля на четвёртую строку
-треугольника.
По этой же схеме можете получить любые степени
натуральных чисел беря для этого
строку
-треугольника.
А так можно?Дополнение №1 к доказательству БТФ
Необходимо доказать, что для любого натурального
уравнение
; (А)
не имеет натуральных решений
,
и
.
Вводим обозначения:
(1)
(2)
(3),
где все сомножители взаимно простые.
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
; (8)
; (9)
Формализованное выражение (8) дано для рассмотрения уравнения (А) при
.
Доказательство основано на закономерности:
; (A-1)
И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.
Расчёт величины
не обеспечивает достаточной наглядности.
Как только осуществляется переход на формализованное выражение (не оценивается цело численность значений – натуральность чисел), обеспечение равенства представляется возможным.
Зададимся целью обеспечить анализ построения разности двух кубов в целочисленном построении методом просчёта.
Существует ли возможность сделать это в формализованном и числовом вариантах.
Чтобы ответить на этот вопрос, вводим понятие диапазона.
Диапазон – рассматриваемое количество точных квадратов в существующей последовательности в величине, например,
, в количестве, например,
.
Также введём, понятие пенала.
Пенал, часть диапозона из количества точных квадратов в существующей последовательности, сумма которых рассматривается как единая величина (секция).
Количество точных квадратов в пенале может быть 1, 2, 3 и так далее. Соответственно: пенал 1, пенал 2, пенал 3 и так далее.
Каждому пеналу соответствует секция – количественная оценка пенала.
При необходимости пеналу придаётся конкретный номер на основании последовательности расположения пеналов. Номера секций и пеналов одинаковые.
Полный диапазон – диапазон, в котором размещается целочисленное количество полных пеналов.
Неполный диапазон – диапазон, в котором не все пеналы размещаются целиком.
Если разделить диапазон на пеналы, получаем возможность представлять каждый пенал как сумму, состоящую максимально из трёх слагаемых: базиса, средней части и надстройки.
Базис
– сумма точных квадратов первой секции.
Средняя часть – произведение расчётного сомножителя
на номер пенала
и на сумму чисел натурального ряда (
) от
до
, где
- порядковый номер пенала:
;
;
;
;
...
Формула для определения расчётного сомножителя:
, где
- натуральный ряд чисел (номера пеналов).
То есть, если используется пенал 1 -
; пенал 2 -
; пенал 3 -
; пенал 4 -
...
Надстройка – произведение номера пенала на сомножитель
.
Таким образом, каждый пенал полного диапозона может быть представлен: базисом, средней частью и надстройкой.
Сумма базисов считается как произведение базиса используемого пенала на количество пеналов в рассматриваемом полном диапазоне.
А количество пеналов это всегда величина основание
рассматриваемого равенства (А).
Для обеспечения полноты рассматриваемого диапозона достаточно использовать увеличение основания
в количество раз, равное номеру пенала.
Поэтому равенство (А), приведенное к виду:
; (А-1)
может быть всегда представлено в виде, где все величины
являются полными интервалами для пенала с любым номером.
Для того, чтобы ответить на вопрос:
Что представляет величина надстройки остаётся научиться определять сумму величин
всего диапозона.
Эта величина определяется по формуле:
.
Таким образом, каждый полный диапазон может быть выражен в формализованном виде как:
; (В-1)
Отметим, что для того чтобы обеспечить структурное построение разности, например, при увеличении оснований равенства (А) в четыре раза, необходимо просчитать следующую сумму:
Результат, полученный в результате сложения, при увеличении в 6 раз, обеспечивает величину, которую необходимо добавить к величине
, чтобы получить величину
.
В формализованном выражении всё получается так, как будто равенство обеспечивается.
Что же является препятствием обеспечения равенства (А) в натуральных числах?
Используемым построением (В-1) обеспечивается наглядность величины, требуемой для восполнения величины базиса на интервале
.
Восполняя величину
до величины
, используются избыточные значения средней части и надстройки. При этом мы имеем возможность выбирать требуемую величину только порциями, равными
. (Основание куба должно быть кратно 4- рём)
Минимальное количество порций, которое обеспечит величину, кратную 10, равно 10. Но в этом случае обеспечивается кратность 10, но не обеспечиваются сомножители, присутствующие в величине
, кроме сомножителя 2. Да и те в несоответствующих степенях. Оставим пока ответ на вопрос: возможно ли это завершить? Пока можно утверждать, что минимальное количество порций, необходимое для восполнения базиса при использовании пенала 2 не может быть меньше чем
.
И так как величина
может конструироваться только порцион но, это приводит к увеличению предполагаемых числовых значений.
Рассмотрим пример, объясняющий масштабы такого увеличения.
Принимаем величину
.
Чтобы иметь возможность представления диапазона через пенал 2, необходимо увеличить основание в четыре
раза.
;
;
Проводим расчёт величины
на основании найденной формализованной закономерности.
;
При этом величина порции равна
, а минимальная величина, используемая для восполнения величины
равна
.
Рассмотрим, какой величины порция и минимальная корректирующая величина будет при использовании пенала 4.
;
;
Проводим расчёт величины
на основании найденной формализованной закономерности.
;
При этом величина порции равна
.
Получаем, что при увеличении основания в два раза, величина порции увеличивается в восемь раз (в два раза увеличивается номер используемого пенала).
При этом минимальная корректирующая величина равна
.
А это означает, что и величина, требуемая на интервал, приходящийся на величину
, тоже должна быть увеличена ни в два раза.
Значить и величина
тоже должна быть увеличена ни в два раза, как это предусматривается при преобразовании разности вида
к виду
;
по сравнению с преобразованием разности вида
к виду
.
Это противоречие и бесконечное количество вариантов рассмотрения равенства (А) через пеналы различных номеров позволяют сделать вывод, что конструирование величины
бесконечно, что свидетельствует о справедливости БТФ.
Что и требовалось доказать.