Необходимо доказать, что

≠

; 1.
Вводим обозначения:

; (1.1)

; (1.2)

; (1.3)

; (1.4)

; (1.5)

; (1.6)

; (1.7)

; (1.8)
Доказательство основано на закономерности:
![$Q_{2a}=[(2*a)^3-2a]/6=[1^2+3^2+5^2+…+(2a-1)^2]$ $Q_{2a}=[(2*a)^3-2a]/6=[1^2+3^2+5^2+…+(2a-1)^2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436dd44781873836680f13592a7213d282.png)
; A
То есть, куб, при чётном основании, за вычетом основания и деления на 6, равен определённой сумме точных квадратов с нечётными основаниями.
Мы изначально рассматриваем возможность конструирования

в результате суммы :

; (B)
Чтобы использовать закономерность (А), умножаем основания выражения (1) на два.
На горизонтальной прямой последовательно откладываем отрезки

,

,

.
На отрезке

, строим величину

, условно, как треугольник

.
На отрезке

, строим величину

, условно, как треугольник

.
На отрезке

, строим величину

, условно, как треугольник

.
Пересечение отрезков

и

обозначаем буквой О.
Получаем графическое представление сложения величин

и

.
Избыточной величиной, которую можно использовать для восполнения величины O

, в результате наложения, является величина
![$[(2k)^3-2k]/6$ $[(2k)^3-2k]/6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/f/b8fbbf0ae97bcf3bcccce661f2c8b64382.png)
.
Кроме этой величины имеет место при сложении величин

и

избыточная величина

.
Поэтому суммарная избыточная величина равна:

.
Задаёмся вопросом: чему эта величина (площадь) должна быть равна?
Она должна быть равна величине

, которая может быть выражена, в данном варианте построения как

(2-1),
Составляем равенство:
или

. (В1)
Это известное соотношение и поэтому оно справедливо.
Если предположить, что нам удастся создать

,

,

требуемого наполнения, то можно предположить, что в это варианте выражение (1) превращается в равенство.
Зададимся вопросом: А возможно ли это?
Чтобы ответить на этот вопрос заметим, что в этом случае должно существовать, по крайней мере, три равенства:

(2.1)

(2.2)

(2.3) где:

(2.2.1)

(2.3.1)
(К горизонтальной прямой

добавляем отрезок

и достраиваем на нём величину

, до величины

.
(В алгебраическом выражении все равенства допустимы).
Чтобы ответить на поставленный вопрос обратимся к методу математической индукции.
Задаваясь значениями

и

, определяем интересующие нас величины.
Это и

, и, конечно, не целочисленные,

и

Теперь определяем и

и

.
После чего можно приступать к анализу.
Для чего сопоставляем левые и правые части выражения (В1) при различных значениях исходных величин.

,
Ни какого равенства при этом не обеспечивается.
О чём это может свидетельствовать?
О том, что равенство (1) не подчиняется установленной закономерности (А), и поэтому
утверждение БТФ справедливо!
А, может быть это очень не обоснованное заключение? - заметит кто-то.
Может быть, отсутствие равенства связано с тем, что не целочисленные величины искажают не только значения, но и закономерность. А если все значения будут целочисленные - закономерность восстановится.
Предположим, что существуют основания

и

, которые обеспечивают равенство (1). Тогда, задаваясь

и, увеличивая

, пошагово на 1 (единицу), до

, и затем, проделывая тоже самое, после увеличения

на 1 (единицу), мы, несомненно, должны найти такую пару значений.
И может ли равенство наступить тогда, когда одно из оснований, по сравнению с уже апробированным основанием, будет увеличено, на 1 (единицу)?
В этом случае следует предположить, что в вычислении существует эффект, аналогичный эффекту кристаллизации вещества.
При этом следует отметить и следующее: при производимом анализе величина

стремится к величине

и при этом к

.
А задаваясь изначально одинаковыми значениями

и

,
и пошагово уменьшая величину

, независимо от величины начальных значений, мы обнаруживаем закономерность расхождения значений правой и левой частей анализируемого равенства (предполагаемого).
Параллельно можно показать анализ и равенства:

; (B2)
Поэтому можно утверждать, что используемые нами совмещение по формализованным частям не правомочны, так как не соответствуют получаемым результатам. Целочисленный анализ не соответствует фактической разности площадей

и

, которые не подчиняются совместно с

используемой при анализе закономерности.
Что свидетельствует о том, что утверждение БТФ справедливо, что и требовалось доказать.