Интегрирование.

[Mikle1990]

Помогите пожалуйста.

Как так получается?
\int cos(lnx)*d(x)=(x/2)*(sin(lnx)-cos(lnx))
Ведь есть же формула.....
почему lnx нельзя заменить буквой и использовать формулу ниже?
\int cos(x)*d(x)=sin(x)+C

[AD]

Mikle1990 в сообщении #287646 писал(а):

почему $\ln x$ нельзя заменить буквой и использовать формулу ниже?

А почему в формуле ниже нельзя $\cos x$ заменить еще одной буквой и использовать формулу еще ниже: $\int x\,dx=\frac{x^2}2+C$?

Тег math необязателен, доллары обязательны.
Логарифмы, синусы и пр. начинаются со слеша: "\cos x"

[Mikle1990]

А тогда как решать это?:
$ \int \cos(\ln(x))*d(x)=... $

Просто в учебнике разбор примера такого типа я не нашёл(
Прошу натолкнуть меня на решение)

[ShMaxG]

Сделайте сначала замену, $y=\ln{x}$. Под интегралом будет экспонента и косинус. Затем ровно 2 раза примените интегрирование по частям и внимательно посмотрите на то, что получилось. Ну а в конце сделайте обратную замену.

-- Сб фев 13, 2010 20:41:11 --

И в скобках будет стоять не минус, а плюс. Не совпадает с вашим вышенаписанным, зато правильно.

[Mikle1990]

$ \int \cos(\ln(x))*d(x)=... $
Какой-то сложный пример я выбрал
(учитывая что интеграл выше это только часть примера)
Не могли бы Вы мне показать первый шаг решения, а то я замучился уже(
Я даже на словах не могу понять, т.к. в математике не силён...

[ShMaxG]

Хорошо.

Делаем замену $y=\ln{x}$, т.е. $x=e^y$. Это значит, что везде в интеграле икс заменим на эту экспоненту:$\[\int {\cos \ln x}\, dx = \int {\cos y} \,d{e^y} = \int {{e^y}\cos y}\, dy\] $.

Далее - применяйте интегрирование по частям 2 раза. При этом под дифференциал вносите каждый раз экспоненту. У вас получится так, что интеграл, который вы находите, будет как слева, так и справа в выражении. Тогда просто перекиньте его из правой части в левую. Так его и найдете.

[meduza]

ShMaxG в сообщении #287685 писал(а):

Делаем замену $y=\ln{x}$

Можно без замены, просто по частям: $\displaystyle \int \underbrace{\cos\ln x}_u\, \underbrace{dx}_{dv}$ два раза, потом из уравнения интеграл находится.

[Mikle1990]

meduza, не думаю, что этот способ подойдёт.
Попробуйте, и увидите, что задача только усложняется.

[Padawan]

Вы бы сами попробовали сначала Уверен, что meduza этот интеграл этим способом уже считал и не раз.

[Mikle1990]

Padawan, так только усложнение можно получить, т.к. все время будет появл-ся
то $ \int \sin\ln x*dx$ , то $ \int \cos\ln x*dx$

или же я чего-то не понял
мы ведь интегрируем по частям...

[Padawan]

Дважды по частям и приходим к тому же самому интегралу. Получается линейное уравнение для этого интеграла (обозначьте его через $I$).

[Mikle1990]

Это способ ещё сложнее чем с заменой(предложенной ShMaxG)?

[meduza]

Mikle1990
Советую вам читать, что вам пишут:

ShMaxG в сообщении #287685 писал(а):

Далее - применяйте интегрирование по частям 2 раза...

Т. е. придём к тому же.

Ну неужели вы два раза подряд не можете применить интегр. по частям? После первой попытки у вас появится $\int\sin\ln x\,dx$ и ещё что-то лишнее, потом уже этот интеграл еще раз по частям -- и придем к исходному. Будет уравнение относительно этого инетграла -- выразите его и всё. Прям разжевал и в рот положил...

[Someone]

Mikle1990 в сообщении #289123 писал(а):

Padawan, так только усложнение можно получить, т.к. все время будет появл-ся
то $ \int \sin\ln x*dx$ , то $ \int \cos\ln x*dx$

или же я чего-то не понял
мы ведь интегрируем по частям...

Проинтегрируйте два раза по частям и напишите здесь, что получилось. А то беспредметный разговор получается. Вам говорят, что после двукратного интегрирования по частям ответ находится сразу, а Вы твердите, что "ещё сложнее".

[Mikle1990]

Да, чё-то голова у меня совсем не варит(


$\int {\cos \ln x}\, dx y=\ln{x} $\[\int {\cos \ln x}\, dx = \int {\cos y} \,d{e^y} = \int \underbrace{{e^y}}_u \underbrace{\cos y \, dy}_{dv}\] u = e^y v = \sin y du = d{e^y} = {e^y}\,dy $

$ u, v, du $ - я правильно взял?