Сумма внешних углов

[KarinaNik]

Всем привет! Помогите пожалуйста...Мне доказать, что сумма внешних углов взятых с каждой вершины по одному равна 360 градусам...Как это можно доказать???

[gris]

Это можно Вам доказать. Чисто интуитивно. Вектор, скользящий по сторонам, при переходе на другую сторону поворачивается именно на внешний угол. А при обходе многоугольника он совершает полный оборот.

[Circiter]

2KarinaNik
Для выпуклого многоугольника ($n$-угольника) можно попробовать доказать ещё и так. Пусть $\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ -- внутренние углы многоугольника. По определению внешнего угла и свойству смежных углов сумма внешних углов $n$-угольника равна

$$\sum_{i=1}^n\left(\pi-\alpha_i\right)=n\pi-\sum_{i=1}^n\alpha_i.$$

Если подставите в эту формулу выражение для суммы внутренних углов ($\pi[n-2]$), то сразу же получите результат-доказательство.

А вот насчет невыпуклых многоугольников вообще ничего сказать не могу, впал в ступор (прокатит ли здесь идея gris'а с путешествием вектора по замкнутому контуру?). Или в условии что-то не договаривается?

[gris]

В условии про многоугольники вообще ничего не говорится. Может быть они самопересекающиеся
Вообще, по умолчанию многоугольники всегда выпуклые и с небольшим числом сторон.

[KarinaNik]

Канеш спасибо за ответы....Но у меня это простой треугольник)))

[gris]

Ну тогда ещё проще. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Сложите три внешних угла.
А треугольник не сферический, точно?

[Henrylee]

И еще проще. Сумма всех внешних и внутренних - $180\cdot 3$, сумма только внутренних $180$. Вычитаем..