Как решать подобные примеры?

[Negus*]

При каком значение x многочлен $P(x)=x^3+4x^2-12x+17$ представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

[gris]

Непонятно условие. Любое значение является квадратом какого-то числа. Если Вы имеете в виду квадрат натурального числа, то это теория чисел. Например, $P(-2)=7^2$
Часто под алгебраическим полным квадратом понимают именно квадрат какого-то многочлена как выражения, но тогда в задачах какой-то параметр бывает.
Вы уточните, что понимаете под полным квадратом.

[Negus*]

Данный пример взят из вестников.
Тут присутствуют варианты ответов
A)-2 B)2 C)1 D)3 E)-3

[Padawan]

Negus* в сообщении #286507 писал(а):

При каком значение x многочлен P(x)=x^3+4x^2-12x+17 представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

Частные значения $x$ можно подобрать, да и то не целые, а рациональные. Да и то благодаря тому, что gris'у $x=-2$ удалось найти.

Например, $P\left(\dfrac{64}{49}\right )=\left(\dfrac{1105}{343}\right )^2$

[gris]

Может быть надо было продемонстрировать умение подставлять в формулу значения переменной?
Не надо искать длинных путей, если видны короткие.

[ИСН]

(Оффтоп)

Я раньше как-то не задумывался, а ведь смысл существования ЕГЭ (и вообще тестов) крепко увязан с проблемой P=NP.
"Присутствуют варианты" - это одно, а если нет - - -

[gris]

А вот говорят о числах - полный квадрат, подразумевая квадрат натурального?
По-английски, вроде бы, perfect square. А по-русски просто квадрат или точный квадрат. Полный квадрат обычно из трёхчлена выделяют.
Для ЕГЭшных задач найти решение бывает даже проще, чем его проверять.

[Negus*]

Спасибо за ответы. Я бы хотел узнать принцип решения подобных задач, когда результат не известен.

[AKM]

gris в сообщении #286515 писал(а):

Вы уточните, что понимаете под полным квадратом.

Это существенно. Уточнить можно, указав контекст. Например, тему, на которую задана задача, книгу и главу (не номер, --- название!), из которой она извлечена.
Школьная алгебра? Высшая алгебра (многочлены)?

[bot]

Negus* в сообщении #286548 писал(а):

Я бы хотел узнать принцип решения подобных задач, когда результат не известен.

Для этого надо знать задачу. Как только Вы выложили 4 варианта ответа, сразу всё стало ясно - перебирай эти варианты и смотри, что годится, хотя и в этом случае формулировка прямо скажем не блещет.
Если вариантов ответа нет, то нужен телепат, который разгадает намерения составителя такой задачи - об этом все и говорят. Что означает, что $P(x)$ является квадратом? И не просто $P(x)$, а многочлен $P(x)$ - сразу противоречие в постановке. Если говорить про значение многочлена в точке x - это одно, а если про многочлен - то это совсем другое. Второй вариант отметается, то есть в задаче подразумевается значение многочлена. Какие числа допускаются, квадрат которых может оказаться значением многочлена $P(x)$? Варианты:
1) Любые комплексные. Ответ - при любом комплексном x.
2) Любые действительные. Надо решать неравенство $P(x)\geqslant 0$ - н-и-а-х-ота
3) Рациональные - вряд ли лучше предыдущего, н-и-а-х-ота
4) Целые. н-и-а-х-ота

Если подразумевался последний вариант, причём требовалось найти не все, а хотя бы один такой $x$, то можно попробовать метод научного тыка, в надежде, что составитель недалеко его засунул - всё равно н-и-а-х-ота, вполне возможная очипятка в такой халтуре может привести к отсутствию нужного x.

[Батороев]

Negus* в сообщении #286507 писал(а):

При каком значение x многочлен $P(x)=x^3+4x^2-12x+17$ представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

Если необходимо найти решение в целых числах, то по-видимому, можно решать так:
$x^3+4x^2-12x+17=y^2$
$4x^2-2\cdot 2x\cdot 3 +(17+x^3)=y^2$
Выражение в левой части может быть квадратом при:
$(17+x^3)=9$.
Откуда: $x=-2$.

[Батороев]

Сочинил задачу примерно на ту же тему.
Не знаю, насколько она покажется интересной другим?

Решить диофантово уравнение: $ x^2-38x-22=y^2$.

[gris]

Метод Батороева
$x^2-2\cdot 19\cdot x +19^2-19^2-22=y^2$

$(x-19)^2-339=y^2$

$(x-19)^2-y^2=339$

Далее теорема KORIOLA о представлении нечётного числа в виде разности квадратов.

[Батороев]

Что-то калькулятор у Вас сбился. Там простое $383$ получается, а далее точно - по Теореме.
Надо было что-нибудь более изощренное придумать.

[gris]

Нет. Просто я вместо сложения сделал вычитание. Но вопрос остался - есть ли решение, кроме 213 и 191?