Метрические пространства (функции огранич. вариации, сепараб

[Trius]

Пока не очень. Непонятно, почему метрика BV больше равномерной, и что делать дальше

[AD]

Trius в сообщении #286125 писал(а):

Непонятно, почему метрика BV больше равномерной, и что делать дальше

Потому что вариация больше одного колебания. Ну в смысле не меньше.

-- Сб фев 06, 2010 17:37:03 --

Вспомните, почему любая функция ограниченной вариации ограничена, и чем именно она ограничена.

-- Сб фев 06, 2010 18:10:38 --

Ну как бы да, я понимаю, что доказательство полноты - это всегда достаточно длинный текст. И он с ходу не придумывается, обычно нужно сначала посмотреть на примеры. Но Вы тут как-то очень ограничили требования (чтобы без теории меры итп), поэтому я даже не знаю, куда бы послать, к какому бы примерчику.

Вот вспомните, как полнота $C[a,b]$ доказывается. Сначала замечаем, что из равномерной фундаментальности следует поточечная, потом вспомнили критерий Коши для каждой точки, вывели поточечную сходимость. Потом доказали, что сходимость к этой функции на самом деле равномерная.

Короче, я к чему. Я (как модератор) не против, чтобы кто-нибудь (в этом конкретном случае!) выложил полное решение, и думаю, что это даже полезно будет, но самому мне не до этого немножко, многа букав будет. Давайте Вы сами "начнёте" перекладывать какое-нибудь известное Вам доказательство полноты, а мы будем критиковать и подсказывать, что дальше.

[Padawan]

Пусть последовательность $\{f_n\}$ фундаментальна в метрике $BV[a,b]$. Для простоты пока считаем, что $f_n(a)=0$, $n=1,2,\ldots$

Как уже отмечено, последовательность $\{f_n\}$ фундаментальна и в равномерной метрике, и поэтому равномерно сходится на отрезке $[a,b]$ к некоторой функции $f$.

Фундаментальная последовательность ограничена, поэтому существует число $C>0$ такое, что $\|f_n\|_V=\operatorname{\mathrm{V}}\limits_a^b(f_n)\leqslant C$, $n=1,2,\ldots$. Покажите, что отсюда следует $f\in BV[a,b]$.

Теперь надо показать, что $\|f_n-f\|_V\to 0$, $n\to\infty$. Для любого $\varepsilon>0$ найдется номер $N$ такой, что при всех $n,m>N$ и любого разбиения $a=x_0<x_1<\ldots<x_{p-1}<x_p=b$ отрезка $[a,b]$ будет выполнено

$$ \sum_{i=1}^p\left |[f_m(x_i)-f_n(x_i)]-[f_m(x_{i-1})-f_n(x_{i-1})]\right |<\varepsilon $$

Устремим здесь $m\to\infty$. Получим

$$ \sum_{i=1}^p\left |[f(x_i)-f_n(x_i)]-[f(x_{i-1})-f_n(x_{i-1})]\right |<\varepsilon \quad\quad (\ast) $$

Итак, для любого $\varepsilon>0$ нашелся номер $N$ такой, что для всех $n>N$ и любого разбиения выполнена $(\ast)$, а значит и $\|f-f_n\|_V\leqslant\varepsilon$.

[AD]

Padawan, ооо!

Очепятка: $x_{{\color{blue}{p}}-1}<x_p$.

[Trius]

Спасибо