Метрические пространства (функции огранич. вариации, сепараб

[Trius]

Пусть $BV([a;b])$ - множество всех функций ограниченной вариации на $[a;b]$. Для ${f,g} \subset BV([a;b])$ положим $d(f,g)=|f(a)-g(a)| + V(f-g,[a;b])$.
Доказать, что $BV([a;b])$ полное метрическое пространство. Является ли оно сепарабельным?

[AD]

В КолмогоровеФомине есть вроде.

[Trius]

"Элементы теории функций и функционального анализа" ? Я там не нашел такого

[AD]

Да, действительно, дано в качестве упражнения (стр.337, конец параграфа про функции ограниченной вариации).

Впрочем, там, разумеется, потом доказывается, что $BV_0=C^*$, откуда полнота тривиально следует. А про сепарабельность чего-то с ходу не соображу.

[Trius]

Что такое $C^*$ ?

[AD]

сопряженное к $C$

-- Пт фев 05, 2010 16:08:23 --

А, судя по названию темы, Вы, наверное, этого еще не понимаете.
Тогда посоображаю, на пальцах объяснить,

(Оффтоп)

правда, сейчас кто-нибудь уже ответит, пока меня до вечера тут не будет.

[id]

По-моему, несепарабельно. Можно явно задать несчетное семейство функций огр. вариации, удаленных друг от друга на расстояние больше $\varepsilon>0$ ( причем пример очень простой, с характеристическими функциями отрезков ).

Суть поста выше в том, что всякое норм. пространство, сопряженное к некоторому нормированному, автоматически является банаховым.

[Padawan]

Если функции из $BV$ интерпретировать как меры на $[a,b]$, а расстояние между мерами - полная вариация их разности, то особенно четко видно, что $BV$ несепарабельно: $\delta(x-x_0),\;\; x_0\in[a,b]$ - несчетное семейство мер, о котором говорит id.

[Trius]

Мне нужно док-во на уровне 2го курса мехмата, без меры и функана

[Padawan]

$f_{x_0}(x)=\chi _{[x_0,b]}(x)$ - характеристическая функция отрезка $[x_0,b]$. Посчитайте $\operatorname{\mathrm{V}}\limits_a^b(f_{x_0}-f_{x_1}) $ при $x_0\neq x_1$.

[Trius]

Что такое "характеристическая функция отрезка"?

[id]

$\chi_{[a,b]} (x) = 1$, если $x\in [a,b]$ и ноль в противном случае.

[AD]

Да, сепарабельность - просто, согласен (можно даже просто характеристические функции одноточечных множеств брать). Но тогда у меня встречный вопрос - а $C\cap BV$ сепарабельно? (разумеется, $AC$ сепарабельно; это у меня всё с нормой-вариацией).

А полноту, наверное, надо по какой-нибудь стандартной схеме доказывать. Берем фундаментальную последовательность, она, очевидно, равномерно сходится (по критерию Коши равномерной сходимости, и т.к. метрика BV больше равномерной), поэтому уже знаем, сходимость ее к чему надо доказывать. Дальше ну там, наверное, выбираем быстро сходящуюся подпоследовательность, наверное, стукаем какой-нибудь теоремой Хелли (ну которые в КФ там же), ну или не знаю, попробуйте.

[id]

AD

Цитата:

Но тогда у меня встречный вопрос - а $C\cap BV$ сепарабельно? (разумеется, $AC$ сепарабельно; это у меня всё с нормой-вариацией).

$AC$ вроде бы не плотно в $V$ с нормой-вариацией, если я правильно понял намек.
А вопрос да, интересный.

-- Сб фев 06, 2010 11:26:02 --

О, тут кажется есть ответ, если я чего-то не пропустил.

[AD]

id в сообщении #286031 писал(а):

О, тут кажется есть ответ, если я чего-то не пропустил.

Да, похоже на то. Как всегда, выручаете

id в сообщении #286031 писал(а):

$AC$ вроде бы не плотно в $V$ с нормой-вариацией, если я правильно понял намек.

Ну оно просто замкнуто. Ибо полно, ибо изоморфно $L_1$. Ну примерно.

-- Сб фев 06, 2010 14:05:24 --

Trius, подтвердите, что Вам понятно, как полноту доказывать