Окружности на поверхности сферы.

[gris]

Поддакну Yu_K, нарисовавшему почти мою фанерку, напомнив, что ребро тетраэдра, касающегося сферы рёбрами, в корень из восьми раз больше радиуса сферы, то есть радиус дырки в фанере будет $\dfrac{\sqrt6R}3$, что равно $0,8165R$
Дался вам этот центр тяжести. Известно же, что почти все тетраэдры неоднородны по плотности.

[Батороев]

gris
Поддакнуть Yu_K поддакнули, а ответ получили почти такой же, как у меня. Всего-то в 2 раза больший.
Видать двойку где-то не сократили.
А так дырка то не может быть больше сферы, а то все в нее провалится. Естественно, если это - не Черная дыра.

[gris]

Блин, ненавижу эту клаву, ненавижу. Набиваю по три часа. Не успел немного. Всё. Ухожу спать. А Вы, Батароев, не могли уж пять минут подождать. У меня всегда раза с третьего получается правильно написать. :обиженно шевеля надутыми губами:

[Батороев]

gris
Пардоньте меня за поспешность мою. Ненавижу ее, ненавижу! Тоже иду спать.

[gris]

Ну вот опять. Вы специально написали, пока я третий раз редактировал. Получается как бы что я Ваше сообщение увидел и своё отредактировал, а я Вашего даже не видел. Вот преступление я совершил - Вам не поддакнул.
Чото меня понесло

[Yu_K]

Я ленивый - и ничего сам не считал - вот еще картинка. Для контроля на картинке длины сторон выведены и прочие величины. Просто как-то делал подобное для додекаэдра - пересечение шести цилиндров (перпендикулярно граням додекаэдра) и там понадобилось найти подобные радиусы. Все получилось там красиво.

Gris может выкинуть клавиатуру и поставить речевой распознаватель и использовать речевой ввод текста, как никак XXI век на дворе. Уже детские игрушечные машинки-конструкторы на водороде продаются в магазинах, а мы все еще клавиатуру пальцами мучаем.

ЗЫ Gris А что правда неодноднородны?

[gris]

Yu_K, а что именно Вы так безупречно правильно нашли? И что искали мы с Батароевым?

А что неоднородны это так. Посмотрите в теме про тайны пирамид.

[Yu_K]

На картинке просто отношения радиусов посчитано (радиус сферы к радиусу окружности на этой сфере, для случая четырех касающихся окружностей на сфере, ответ такой же как у вас - он в красной рамке) - для тетраэдра в трехмерном пространстве - через центры тяжести тетрадра, центр тяжести треугольника и цетнр тяжести отрезка ребра - входные данные координаты четырех вершин $A,B,C,D$. Знак модуля там обозначает длину вектора.

[gris]

Но в красной рамке $\dfrac{\sqrt6}2$, а у нас с Батороевым $\dfrac{\sqrt6}3$

Дошло!!!

[Батороев]

У меня получилось следующее:

Тетраэдр: $r=R \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Куб: $r=R \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Октаэдр: $ r=R\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Икосаэдр: $r =R \cdot \dfrac {\sqrt{6}}{3\cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}}$

Додекаэдр: $r= R \cdot \sqrt{\dfrac{2\sqrt{5}+4}{7\sqrt{5}+15} $

[gris]

Кстати, по английски есть специальное название для сферы, которая касается всех рёбер многогранника - midsphere, которая вместе с insphere, circumsphere, exspheres образует ансамбль сфер.

Я посмотрел, вроде бы ребро рёберноописанного икосаэдра равно $\dfrac{4R}{1+\sqrt5}$, тогда радиус дырки будет $\dfrac{2R}{\sqrt3+\sqrt{15}}\approx 0,3568$

И у Вас получается то же самое значение!!!

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/Midsphere.html
http://mathworld.wolfram.com/Midradius.html