Описанная трапеция или вписанная окружность

[Marina]

Вот такая задача:
Около окружности описана равнобокая трапеция $ABCD$. Окружность касается боковой стороны$AB$ в точке $K$. Прямая $DK$ пересекает окружность в точке $P$, при этом $DP=4$ и $KP=5$ .Найти: а)длину большего основания $AD$; б)$\cos \angle A$; в)радиус окружности.

Я нашла: Большее основание $ DM^2=DP\cdot DK=36 \to $ $DM=6$. Так как$ AM=DM$, следовательно $AD=12$
$\cos \angle A=\frac {AK^2 + AD^2-DK^2} {2\cdot AK\cdot AD}=0,6875$

Подскажите,пожалуйста, как найти радиус.

от модератора AD:
Ну кто их только учит обозначать умножение звёздочкой?
Вот смотрите, как я Вам клёво формулы поправил.

[gris]

А как радиус соотносится с высотой?

[G_Ray]

Не особо понятно, что за $DM$.

А насчет радиуса - опустите перпендикуляры из центра окружности на стороны трапеции, и рассмотрите полученные прямоугольные треугольники.

[Marina]

gris

Цитата:

А как радиус соотносится с высотой?

Как 1:2

[Sasha2]

Господи, да тм же все в трех уравнениях
$4R^2=AB^2-(AD-BC)^2$
$2AB=AD+BC$
$2R^2=AB^2$ (Кситати одна из Ваших предыдущих задач)

Вы наверно просто забыли, что у выпуклого четырехугольника, в который вписана окружность суммы противоположных сторон равны.

[Marina]

Sasha2
Извините, но мне не известна длина $AB$ и $BC$. Как с этим быть?

[Sasha2]

Нет ну Вы сосчитайте число уравнений и число неизвестных.

[Marina]

Sasha2
Наверное $(AD-BC)$ нужно делить на 2??

[Sasha2]

А вообще да нужно, зевнул малость.
Да Вы сами опустите из точки B перпендикуляр еа AD и напишите сами это уравнение.
Второе тоже понятно - это теорема о четырехугольнике, в которую вписана окружность.
Ну и последнее - это одна из Ваших последних задач.

[Marina]

Sasha2
Из того, что Вы написали мне удалось найти только, что $R^2=3BC$. Или я шла не в том направлении?

[gris]

У Вас есть косинус А, найдите тангенс половинки, а потом умножьте на АМ. Ведь центр окружности лежит на биссектрисе А
Где Ваши чудесные чертежи, так мило стилизованные под сделанные обычным карандашом на клетчатой бумаге. Фильтр Schoollife?

[Marina]

(Оффтоп)

gris

[Sasha2]

Ну хорошо

Обозначения:
$AB=x$
$BC=y$

Из второго уравнения
$y=2x-12$

Подставляем это значение в первое уравнение и получаем, что
$4R^2=x^2-(\frac{24-2x}{2})^2=x^2-(12-x)^2$

Ну и решайте систему
$4R^2=x^2-(12-x)^2$
$2R^2=x^2$

Совет. Лучше сперва найдите х.

[ewert]

Marina в сообщении #283785 писал(а):

Подскажите,пожалуйста, как найти радиус.

G_Ray в сообщении #283792 писал(а):

А насчет радиуса - опустите перпендикуляры из центра окружности на стороны трапеции, и рассмотрите полученные прямоугольные треугольники.

Вам же для нижних треугольников уже известны один из катетов и удвоенный угол, а радиус -- это другой катет.

[Marina]

Sasha2
Попыталась решить систему, но получила, х=6. Такого мне кажется не может быть.
Поэтому запись $2R^2=AB^2$ считаю не логичной и внесла бы такую поправку $2R=AB*SinA$ следовательно $4R^2=AB^2*(1-Cos^2A)$.
А Вы как думаете?