связность в R^m

[Padawan]

Поправьте меня, если я что-то не правильно понимаю.

terminator-II в сообщении #283185 писал(а):

Замена координат ищется как решение следующей задачи Коши:

$$ \frac{\partial y^p}{\partial x^k}=w^p_k,\quad \frac{\partial w^p_r}{\partial x^s}=w^p_k\Gamma^k_{rs}(x),\quad w^p_r(0)=\delta^p_r,\quad y(0)=0. (*) $$

из общей теории известно, что решение этой системы $y(x),w(x)$ локально (при малых $|x|$) существует и единственно.

Уравнение получено из закона преобразования $\Gamma$ приравниванием её к нулю в координатах $y$. Начальные условия произвольно можно взять - то, о чем я говорил, решения будут друг из друга аффинным пробразованием получаться.

Условия интегрируемости совпадает с равенством нулю тензора Римана-Кристоффеля? Ну так и должно быть, раз это характеристическое свойство для локальной евклидовости. Локально, значит существует.

Цитата:

Поскольку решение системы (*) получается как
композиция потоков соответствующих систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (матрицы которых строятся по коэффициентам $\Gamma^k_{rs}(x)$) то решение это определено при всех $x$, если только $\Gamma^k_{rs}(x)$ определены при всех $x$.

Композиция потоков - сначала фиксируем все, кроме $x_1$, сдвигаемся согласно уравнениям. Дальше из новой точки сдвигаемся по $x_2$ и т.д. Но почему линейных? $\Gamma$ же от $x$ нелинейно зависит?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #283218 писал(а):

Начальные условия произвольно можно взять

почти произвольно: $\det w^i_j(0)\ne0$ все остальное Вы поняли правильно

Padawan в сообщении #283218 писал(а):

Композиция потоков - сначала фиксируем все, кроме $x_1$, сдвигаемся согласно уравнениям. Дальше из новой точки сдвигаемся по $x_2$ и т.д. Но почему линейных? $\Gamma$ же от $x$ нелинейно зависит?

тут некоторая вольность речи: ОДУ о которых идет речь неавтономные с независимыми переменными $x^k$; соответственно потоки рассматриваются в расширенном фазовом пространстве.
рассуждать надо примерно по аналогии вот с чем.
в обыкновенных дифурах если у нас есть $\dot x=v(x)$ и $\dot x=u(x)$ и $[u,v]=0$ то $g^t_ug^s_v=g^s_vg^t_u$.
пусть теперь $u=u(t,x)$ и $v=v(t,x)$ соответствующие уравнения можно привести к автономным, добавив еще одно уравнение $x^{n+1}=t,\quad \dot x^{n+1}=1$ тогда предыдущее утверждение можно соответствующим образом переформулировать, и понимать композицию потоков в этом смысле.

[Padawan]

Ладно, это не важно. Я так понимаю - раз условия интегрируемости выполнены, то неважно по какому пути мы придем из $y(0)$ в $y(x)$ - по ломаной параллельной осям $x$-ов или вообще по произвольной кривой. Но уравнения-то нелинейные. И их "бесплатно" не сведешь к линейным.

[terminator-II]

нелинейные, нелинейные. тут речь вот о чем.
имеется неавтономная система $\dot x=A(t)x$ она линейная и потому, ее решения определены при всех $t\in\mathbb{R}$ коль скоро матрица определена и непрерывна при $t\in\mathbb{R}$. теперь рассмотрим систему такую:

$$\dot x=A(y)x,\quad \dot y=1$$

она нелинейная и автономная (можно рассматривать потоки), но главное, что решения этой нелинейной системы тоже определены при всех $t\in\mathbb{R}$ по очевидным причинам. ok?

Padawan в сообщении #283250 писал(а):

Я так понимаю - раз условия интегрируемости выполнены, то неважно по какому пути мы придем из $y(0)$ в $y(x)$ - по ломаной параллельной осям $x$-ов или вообще по произвольной кривой

да

[Padawan]

Извиняюсь за тупость - уравнения действительно линейные относительно искомых функций $y$ и $w$, а это и есть линейность.

terminator-II в сообщении #283185 писал(а):

Причем решение $w(\tilde x)=((w^p_k(\tilde x))$ может быть получено следующим образом. Пусть $x=t\tilde x$ где $t\in\mathbb{R}$. другими словами $$x=t\tilde x$ -- это параметрическое уравнение прямой проходящей через $0$ и $\tilde x$.

Пусть теперь $W(t)=(w^p_k(t\tilde x))$
Тогда матрица $W(t)$ удовлетворяет уравнению

$$\dot W=W\Gamma_{\tilde x}(t),\quad \Gamma_{\tilde x}(t)=(\Gamma^k_{rs}(t\tilde x)\tilde x^s),\quad W(0)=E$$

Соответственно $(w^p_k(\tilde x))=W(1)$.

Такое матричное уравнение можно написать для любой точки $\tilde x$ беря всевозможные прямые $x=t\tilde x$. Ясно, что для любой матричной системы будет $\det W(t)\ne 0.$

А давайте в качестве $\tilde x$ брать только единичные вектора, а $t$ соответственно изменять от $0$ до $+\infty$

Для $\det W(t)$ имеется конкретное выражение $\det W(0)\cdot e^{\displaystile \int\limits_0^{t} \mathrm{Tr} \Gamma_{\tilde x}(t)}\,dt$

где $\mathrm{Tr}\Gamma_{\tilde x} (t)=\Gamma^r_{rs}(t\tilde x)\tilde x^s$ -след матрицы.

Для того, чтобы отображение $y(x)$ , было однолистным отображением на все $\mathbb{R}^m$, достаточно, чтобы $\det W^{-1}$ был ограниченным. Действительно, отображение $y(x)$ отбражает $\mathbb{R}^m$ на некоторую (возможно многолистную) область $D$. Если у этой области есть граничные точки, то при приближении к ним из $D$ $\det W^{-1}$ не ограничено возрастает - он меряет во сколько раз при отображении увеличивается элемент площади.

Если мы хотим, чтобы $(\det W(t))^{-1}$ был ограничен, то достаточно потребовать, чтобы интеграл $\int\limits_0^{t} \mathrm{Tr} \Gamma_{\tilde x}(t)}\,dt$ , был равномерно ограниченным по $\tilde x$ и $t$. А для этого достаточно, чтобы $\Gamma^k_{ij}(x)=O(1/|x|^{1+\alpha}),\; x\to\infty $ для некоторого $\alpha>0$.

Таким образом, получаем еще одну теорему

Теорема. Если симметричная связность $\Gamma^k_{ij}(x)$ с тождественно нулевым тензором Римана, удовлетворяет условию $\Gamma^k_{ij}(x)=O(1/|x|^{1+\alpha}),\; x\to\infty $ для некоторого $\alpha>0$, то существуют координаты в которых все символы Кристоффеля тождественно равны нулю.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #283328 писал(а):

Для того, чтобы отображение $y(x)$ , было однолистным отображением на все $\mathbb{R}^m$, достаточно, чтобы $\det W^{-1}$ был ограниченным. Действительно, отображение $y(x)$ отбражает $\mathbb{R}^m$ на некоторую (возможно многолистную) область $D$. Если у этой области есть граничные точки, то при приближении к ним из $D$ $\det W^{-1}$ не ограничено возрастает - он меряет во сколько раз при отображении увеличивается элемент площади.

мне это рассуждение совсем не очевидно. а если над каждым $y$ висят, например, два икса?

Padawan в сообщении #283328 писал(а):

Теорема. Если симметричная связность $\Gamma^k_{ij}(x)$ с тождественно нулевым тензором Римана, удовлетворяет условию $\Gamma^k_{ij}(x)=O(1/|x|^{1+\alpha}),\; x\to\infty $ для некоторого $\alpha>0$, то существуют координаты в которых все символы Кристоффеля тождественно равны нулю.

а сама по себе эта теорема конечно правильная. есть такой факт: система $\dot x=A(t)x$ устойчива если
$\int^{+\infty}\|A(s)+A^T(s)\|ds<\infty$