Извиняюсь за тупость - уравнения действительно линейные относительно искомых функций

и

, а это и есть линейность.
Причем решение

может быть получено следующим образом. Пусть

где

. другими словами

-- это параметрическое уравнение прямой проходящей через

и

.
Пусть теперь

Тогда матрица

удовлетворяет уравнению

Соответственно

.
Такое матричное уравнение можно написать для любой точки

беря всевозможные прямые

. Ясно, что для любой матричной системы будет
А давайте в качестве

брать только единичные вектора, а

соответственно изменять от

до

Для

имеется конкретное выражение

где

-след матрицы.
Для того, чтобы отображение

, было однолистным отображением на все

, достаточно, чтобы

был ограниченным. Действительно, отображение

отбражает

на некоторую (возможно многолистную) область

. Если у этой области есть граничные точки, то при приближении к ним из

не ограничено возрастает - он меряет во сколько раз при отображении увеличивается элемент площади.
Если мы хотим, чтобы

был ограничен, то достаточно потребовать, чтобы интеграл

, был равномерно ограниченным по

и

. А для этого достаточно, чтобы

для некоторого

.
Таким образом, получаем еще одну теорему
Теорема. Если симметричная связность

с тождественно нулевым тензором Римана, удовлетворяет условию

для некоторого

, то существуют координаты в которых все символы Кристоффеля тождественно равны нулю.