Окружности на поверхности сферы.

[yurk84]

Уважаемые участники Форума! Теперь, когда уже по-моему всем стало понятно условие моей задачи, хотелось бы, наконец, получить конкретный ответ на следующий вопрос: "Имеет ли доказательное решение эта задачка по геометрии или нет?"

[gris]

Хотя никакого условия Вы так и не поставили, верно следующее утверждение:

Существуют покрытия сферы 4,6,8,12,20 равными кругами, при которых выполнены условия:

- Круги могут пересекаться не больше, чем в одной точке.
- Если при повороте сферы центры двух любых кругов покрытия переходят в центры кругов покрытия, то и центры остальных кругов покрытия переходят в центры кругов покрытия (принцип абсолютной симметрии).
- Не существует покрытия таким же количеством кругов большего радиуса.

Ни при каком другом количестве кругов не существует покрытия с указанными свойствами.
Центры кругов находятся в вершинах правильного многогранника, вписанного в сферу.

Вопрос в том, существуют ли не абсолютно симметричные покрытия. Существуют.

Кстати, вопрос этот имеет очень большое отношение к цирциттеровым множествам, которые уже обсуждались http://dxdy.ru/topic25560.html

Ваша задача это просто построение минимального насыщенного связного цета на сфере. Ну или вопрос о существовании к-точечного связного ригидного цета.

[Yu_K]

gris в сообщении #283189 писал(а):

Существуют покрытия сферы 4,6,8,12,20 равными кругами, при которых выполнены условия:

- Круги могут пересекаться не больше, чем в одной точке.
...

Центры кругов находятся в вершинах правильного многогранника, вписанного в сферу.

Не совсем понятно расположение кругов для октаэдра. Там вершин 6 - а вроде как 8 равных кругов (в утверждении выше) ему предлагается в соответствие. Для остальных правильных многогранников центры кругов лучше наверное брать на лучах соединяющих центр сферы с центрами граней.

Восемь кругов будет, если 4 верхних и 4 нижних повернуты относительно друг друга на 45 градусов.

Доказательство можно конструктивное предложить - для сферы единичного радиуса надо выбрать произвольное $r <1$ и построить первый круг такого радиуса на сфере, далее вокруг него построить серию таких же кругов, чтобы они касались первого и цепочка составленная из них сомкнулась - получим уравнение на $r$ затем пытаться дальше строить вторую цепочку - получим еще одно уравнение на $r$. Конечное число вариантов дискретных значений радиусов найдется.

Может задачу лучше переформулировать так - сколько одинаковых (непересекающихся внутренними областями) конусов с общей вершиной можно построить чтобы они заполняли собой максимально возможную часть полного телесного угла (и ни одного конуса такого же размера нельзя было бы добавить). Ну это если Ауровиль строить.

[gris]

Можно центры кругов брать в вершинах вписанного многогранника. Тогда октаэдру будет соответствовать 6 кругов, а кубу 8. А можно в проекциях центров граней - тогда октаэдру будет соответствовать 8 кругов, а кубу 6. Проекции центров граней на сферу их её центра образуют вершины гомологичного многогранника. Тетраэдр гомологичен сам себе. Куб октаэдру, додекаэдр икосаэдру.

[yurk84]

Прочитав все вновь поступившие предложения, я обнаружил, что все они так или иначе свелись к моему самому первому сообщению, в котором я высказал свою версию решения этой задачи. Однако, как я уже писал там, я ещё сам до конца не представляю, как это всё можно практически реализовать. К примеру, чему должен быть равен радиус каждого из кругов и как их можно самому нанести на поверхность сферы ( шара ) ?

[gris]

Это уже вопрос ко мне. Одно дело - рассуждать теоретически, другое - выполнить практические измерения или построения. В мячик гвоздик не вобьёшь.
Я наносил подобный рисунок на большие, около метра радиусом, полые металлические шары. Первым делом надо точно определить радиус шара. Тут я поступал по простому, размещая на шаре, лежащем на ровном полу, большой кусок фанеры, выравнивая его горизонтально и измеряя высоту.
Затем вычислял радиус будущей окружности рисунка для конкретного многогранника. Обратите внимание, что радиус именно плоской окружности, а не сферического круга.
Затем в куске фанеры выпиливал круглое отверстие и использовал фанеру в качестве шаблона, надевая её на шар и обводя кисточкой с краской. После высыхания, поворачивал шар, надевал фанеру так, чтобы край отверстия соприкасался с уже нарисованной окружностью, и снова обводил.
Получался довольно сносный рисунок. Опытным путём устанавливалась величина увеличения радиуса отверстия, чтобы учитывать погрешности от толщины фанеры и необходимой ширины линии рисунка.
Всё это выглядит немного комично, но представьте, что Вам надо разрисовать два десятка одинаковых шаров. Моим способом это делается легко. Но это только если радиусы шаров одинаковые, иначе замучаешься выпиливать, а картон не даёт жёсткости и пропускает краску. Когда требовалось рисовать не окружности, а круги, я пользовался пульверизатором.
Для мячей этот способ тоже подойдёт. Разумеется, для демонстрационных образцов. В промышленном производстве свои способы.

[Батороев]

yurk84 в сообщении #283317 писал(а):

К примеру, чему должен быть равен радиус каждого из кругов?

Нахождение радиуса кругов, например, при $n=4$, эквивалентно решению следующей задачи:
" Если расстояние от центра масс тетраэдра до точек касания вписанных в грани окружностей равно $R$, то чему равен радиус этих вписанных окружностей?"

[yurk84]

Батороев в сообщении #283387 писал(а):

yurk84 в сообщении #283317 писал(а):

К примеру, чему должен быть равен радиус каждого из кругов?

Нахождение радиуса кругов, например, при $n=4$, эквивалентно решению следующей задачи:
" Если расстояние от центра масс тетраэдра до точек касания вписанных в грани окружностей равно $R$, то чему равен радиус этих вписанных окружностей?"

Уважаемый господин Батороев! А не могли бы Вы на этом Форуме привести рисунок поставленной Вами же задачи. А если ещё и необходимое к нему решение - было бы совсем хорошо. Как я понимаю, эта же задача решается аналогично и при n>4?

[Батороев]

К стыду своему признаюсь, что картинки заводить не научился.

По поводу решения...
Радиус вписанной в грань тетраэдра (правильный треугольник) окружности равен:
$ r=\dfrac{\sqrt 3}{6}a$, где $a$ -сторона тетраэдра.

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:
$ R_0=\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.

Точка касания вписанной в тетраэдр сферы и центр вписанной в грань окружности совпадают. Плоскость грани перпендикулярна радиусу вписанной в тетраэдр сферы.

Тогда по теореме Пифагора радиус Вашей сферы равен:
$R= a\sqrt{(\frac{\sqrt 3}{6})^2+(\frac{\sqrt{6}}{12})^2}=a\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Из чего получаем:
$r= \dfrac{\sqrt{6}}{3}R$.

Вроде, так!

p.s. Для $n>4$ принцип решения аналогичный.

[ewert]

Хм.

Ребро тетраэдра, вписанного в сферу: $b=2\,R\,\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ (поскольку высота этого тетраэдра есть $h=b\,\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ и, соответственно, $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ -- это косинус угла между высотой и ребром).

Радиус окружности, описанной вокруг грани тетраэдра: $r=\dfrac{b}{\sqrt3}=R\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}$.

?

[Батороев]

Сначала не понял, в чем сомнения? Потом вроде, догадался.

Окружности шаровых кругов, интересующих топик-стартера, лежат не в вписанном в сферу тетраэдре и не в описанном вокруг нее, а в некоем промежуточном.
Другое дело, что через сторону и радиус вписанной, но уже в этот тетраэдр сферы, можно увязать радиусы вписанных в его грани окружностей (искомые радиусы) с радиусом исходной сферы (расстояние от центра тетраэдра до точки касания вписанных в грани окружностей).

[Yu_K]

Для тетраэдра с вершинами $A,B,C,D$ - четверть суммы координат даст $Z=(A+B+C+D)/4$ -центр тяжести тетраэдра, сфера которая касается ребер тетрадра, будет иметь радиус равный расстоянию от $Z$ до середины любого ребра, например $P=(A+B)/2$, радиус окружности на сфере (4-х таких которые касаются друг друга) вписанной в грань тетраэдра равен расстоянию от центра тяжести треугольника $S=(A+B+C)/3$ до $P$ и отношение этих радиусов получается $\sqrt6/2$ - если ничего не напутал.


Для куба, т.е. $n=6$ вроде устно считается $r=\sqrt2R/2$.

[Батороев]

Возьмем четыре монетки. Составим из них объемную симметричную фигуру.
Все монетки лежат в плоскостях граней некоего тетраэдра.
Монетки в данном рассмотрении - это окружности, вписанные в грани тетраэдра.
Радиус сферы, которая интересует топик-стартера - это расстояние от центра тяжести тетраэдра до точки касания монет, но не середины ребер тетраэдра.

-- Вт янв 26, 2010 21:32:24 --

Да, нет - середины ребер. Что-то я не то сказанул.

[Yu_K]

для примера одну окружность нарисовал, остальные получаются соответствующими поворотами.

[Батороев]

Yu_K
Классная картинка!!!

Но почему же ответы у нас с Вами разные?!
Может оттого, что как мне кажется, Вы не правильно считаете координаты центра тяжести.
Углы между прямыми, проведенными из центра тяжести и соседними вершинами тетраэдра, если память не изменяет, составляет 109 градусов с копейками. Тогда, наверное, существует какая-то поправка относительно четверти суммы координат?