Непрерывная биекция-негомеоморфизм на плоскости

[id]

Пытаюсь придумать пример непрерывной биекции, не являющейся гомеоморфизмом в $\mathbb{R}^2$, и что-то не выходит. Это беспокоит.

Скажем, что такого не бывает в $\mathbb{R}$ ( или в случае компактного хаусдорфова $X$ ) мне известно, пример с $[0,1)$ и $S^1$ тоже.

Над чем подумать?

[Padawan]

В смысле $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ? Надо проверить, что отображение открыто. На форуме это обсуждалось уже где-то.

[id]

Хм, кажется, вот: topic24150.html

То есть такого примера быть не может.

[Padawan]

Точно. Только хотел ссылку дать Там, кстати, обсуждение полной ясностью не окончилось. Но при $m=2$ дело проще - теорема Жордана.

[id]

Padawan

Цитата:

теорема Жордана

В какой формулировке?

[Padawan]

Жорданова (простая замкнутая) кривая делит плоскость на две области - ограниченную и неограниченную, для которых является общей границей. Берем кружок. Образ его границы будет жордановой кривой. Она ограничивает некоторую область. Эта область должна быть целиком заполнено образом кружка при отображении, т. к. иначе можно было бы устроить ретракцию кружка на свою границу. Ну вот еще и теорему Брауэра приплёл .

[id]

Padawan
Хм, занятно.
Только хотелось бы уточнить формальности по поводу неретрагируемости:
Пусть $S' = f(S^1)$ (образ огружности при отображении), $B' = f(B^2)$ (образ открытого диска $B^2$, который имел границей $S^1$). При этом мы пользуемся теоремой Жордана-Брауэра и утверждаем, что $S'$ разделяет две области, из них внутренняя $U$ по предположению не совпадает с $B'$.

Теперь мы ходим воспользоваться неретрагируемостью ( в той форме, что не существует отображения замкнутого диска на границу, тождественного на границе ). Но как ее устроить?
Допустим, если бы $S'$ была выпуклой, можно было бы взять точку из $U \setminus B'$ и лучами спроецировать $B'$ на $S'$, потом взять обратное отображение. В общем случае мы как-то гомеоморфно преобразуем $S' \cup U$ в замкнутый диск ( причем с сохранением того свойства, что $U \neq B'$)?

Кстати, есть же и многомерный вариант теоремы Жордана:

Цитата:

Любое $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\mathbb R^n$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две компоненты и является их общей границей

ну и неретрагируемость тоже.
Не получится ли из этого еще одно доказательство того, что непрерывная биекция $\mathbb R^n$ - гомеоморфизм?

[Padawan]

Можно использовать, то, что замкнутая область, ограниченная жордановой кривой гомеоморфна замкнутому кругу (хотя мне уже не очевидно как это строго доказать...). Значит, если из неё выкинуть кружок, получится кольцо. Кольцо можно ретрагировать, значит и тут можно.

В моём доказательстве есть еще одна "дырка" - не понятно, почему центр исходного круга должен отобразиться во внутреннюю область.

В Математической энциклопедии есть такая статья (на "Брауэра теорема")

1) Б. т. о неподвижнеподвижной точке: ... (ну это все знают)
2) Брауэра теорема об инвариантности области: при всяком гомеоморфном отображении подмножества
$A$ евклидова пространства $E^n$ на подмножество $B$ того же пространства любая внутренняя точка $A$ (относительно $E^n$ ) переходит во внутреннюю точку $B$ (относительно $E^n$), а любая невнутренняя точка переходит в
невнутреннюю. Доказана Л. Брауэром [1].
Лит.: [1] Brouwer L. E. J., «Math. Ann.», 1912, Bd 71, S. 97—115.

Доказательство есть в Голузине, "Геометрическая ТФКП"

Если использовать эту теорему, то все понятно - отображение открыто, а значит, гомеоморфизм.

Подмногообразие - оно же гладким должно быть, так что для общего случая не подходит.

[id]

Цитата:

В моём доказательстве есть еще одна "дырка" - не понятно, почему центр исходного круга должен отобразиться во внутреннюю область.

Для компактного множества ( круг же ) непрерывная биекция-гомеоморфизм. Там вроде получается так, что если центр круга снаружи, то весь образ снаружи ( убираем границу и смотрим на связность ). Что опять же противоречит... вроде бы. Слабовато у меня с алг. топологией, увы. Был бы рад подробным разъяснениям.

[Padawan]

Я тоже больше по общей Да, надо алгебраическую подучить, особенно которая на границе с общей.

[id]

Хм. В общем, в этой теме всячески приветствуются профи-топологи, способные пролить свет на эти вопросы.

[id]

Я кстати пропустил что-то. Почему

Цитата:

Подмногообразие - оно же гладким должно быть

Признаюсь, книг с доказательством теоремы Жордана в общем случае я не читал еще, поэтому скопировал с Вики, что нехорошо. Там была цитата именно как есть, без требований гладкости.

-- Пн янв 25, 2010 02:57:43 --

Можно вместо Брауэра для $\mathbb{R}^2$ фундаментальными группами воспользоваться.

Как уже доказали, $f$ - гомеоморфизм $D$ и $f(D)$, значит фунд. группы изоморфны. Первая - тривиальна. Если же предположить, что в $f(D)$ есть "дырка", то фунд. группа явно не будет тривиальной. Хотя опять таки, очень было бы интересно вот в этом месте увидеть строгую аргументацию.

[AGu]

Сразу пардон: я не вникал в обсуждение (увы, некогда), а только прочитал стартовое сообщение.
Насколько я знаю, отсутствие сабжа (причем для $\mathbb R^n$), само будучи классикой, к тому же следует из следующих двух классик:

(1) Теорема (вроде, Тихонова).
Непрерывная биекция между компактами является гомеоморфизмом.

(2) Теорема о сохранении области (или как-то так).
Если $X$ и $Y$ — гомеоморфные подмножества $\mathbb R^n$ и $X$ открыто, то $Y$ открыто.

Или теперь вопрос стоит как-то иначе, и нужно вывести отсутствие сабжа, не опираясь на классику? Если так, то, опять-таки, пардон.

[id]

AGu
Наверно, к тому же еще и хаусдорфовыми компактами? ( контрпример тривиален, $id: (\{0,1\},\{ \varnothing, \{0,1\},\{0\}\}) \to (\{0,1\},\{ \varnothing, \{0,1\} \})$)
Вопросы вроде как остались только для "неклассического" доказательства.

С классическим способом док-ва, думаю, примерно понятно, спасибо.

[AGu]

(Оффтоп)

id в сообщении #283465 писал(а):

Наверно, к тому же еще и хаусдорфовыми компактами?

Чье занудство зануднее — вопрос спорный.
Я беру на себя смелость утверждаеть, что в современной русскоязычной математической литературе под «компактом» чаще всего понимается именно хаусдорфово компактное топологическое пространство.