Помогите параметризировать диоф. уравнение x^2+y^2+z^2=t^n

[Slava]

Параметризацию диофантового уравнения $x^2+y^2=z^n$ можно осуществить с помощью комплексных чисел.
Например при $n=3$:
$(p-iq)^3=(p^3-3pq^2)-i(3p^2q-q^3)$,
$(p+iq)^3=(p^3-3pq^2)+i(3p^2q-q^3)$,
$(p-iq)(p+iq)=p^2+q^2$,
$((p^3-3pq^2)-i(3p^2q-q^3))((p^3-3pq^2)+i(3p^2q-q^3))=$
$=(p^3-3pq^2)^2+(3p^2q-q^3)^2$,
$(p^3-3pq^2)^2+(3p^2q-q^3)^2=(p^2+q^2)^3$.
Как параметризировать диофантово уравнение $x^2+y^2+z^2=t^n$, где $n>2$?

[maxal]

Вместо "параметризации диофантова уравнения" правильнее будет сказать "найти частное параметрическое решение" - тогда не будет разночтений.

По аналогии с параметрическим решением для двух квадратов можно построить параметрическое решение для 8 квадратов, если вместо комплексных чисел использовать кватернионы.

Для $x^2+y^2+z^2=t^n$ параметрические решения можно попробовать искать методом неопределённых коэффициентов (для каждого фиксированного $n$).

[maxal]

Для нахождения параметрического решения для $n=3$ можно воспользоваться известным фактом, что форма $x^2 + y^2 - t^3$ представляет все целые числа. См. решение задачи 10426 в AMM.